В данной работе предлагаются решения сложных заданий (№13 - №19) ЕГЭ-2021 по математике. Представленный здесь материал предназначен для подготовки к ЕГЭ учащихся, имеющих навыки в решении заданий подобного уровня сложности.
Задания №13, №15, №17 могут быть предложены сильным учащимся обычных классов, а вот задания №14, №16, №18, №19 целесообразно решать с учащимися физико- математических классов, причем задание №19 под буквой «в» под силу только тем, кто имеет определенную подготовку в решении олимпиадных задач.
Для оформления всех решений использована мультимедиа презентация, где материал представлен наглядно в ярком, интересном и доступном виде, что для учителя и учащихся будет ценно и полезно. Эту презентацию можно применять как на уроке, так и для индивидуальной работы.
Условия заданий и методические рекомендации по их решению.
№13.
а)
Решите
уравнение
Решите
уравнение
б)
Укажите
корни
этого
уравнения,
принадлежащие
отрезку
Это задание считается одним из самых решаемых среди заданий второй части ЕГЭ. Применяя основное тригонометрическое тождество, получаем в левой части данного уравнения тригонометрическое выражение относительно, которое можно способом группировки разложить на множители.
Решить получившиеся простейшие тригонометрические уравнения предлагается с помощью числовой окружности. Важно, чтобы учащиеся имели хорошие навыки в работе с этой математической моделью. Тогда и отбор корней лучше всего сделать на числовой окружности.
№14.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 14, высота SН равна 6. Точка К - середина бокового ребра SD. Плоскость AKB пересекает боковое ребро SC в точке P.а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет ¾ площади треугольника SCD.
б) Найдите объем пирамиды ACDKP.
Стереометрическая задача является для учащихся одной из сложных. В лучшем случае учащимися выполняется только первая часть на доказательство, тогда, как вторая часть задачи под силу лишь не многим.
Решение второй части задачи предлагается тремя способами:
- применением классического определения расстояния от точки до плоскости;
- методом координат;
- методом объёмов.
№15.
Решите
неравенство
Данное неравенство достаточно хорошего уровня сложности. Его решение возможно:
- методом замены переменной, причем эту замену приходится выполнять дважды, что в целом усложняет решение;
- методом замены множителей, которому желательно обучать учащихся, так как в некоторых случаях, а именно в этом неравенстве он приводит к более простому решению.
№16.
Точки A, B, C, D и Е лежат на окружности в указанном порядке, причем AE = ED = CD, а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T.
а) Докажите, что прямая EC пересекает отрезок TD в его середине.
б)
Найдите
площадь
треугольника
ABT,
если
BD
=
6,
AE
=
.
Данная планиметрическая задача решается здесь двумя разными способами. Здесь важно увидеть свойства различных геометрических фигур, которые позволяют выбрать то или иное решение задачи.
№17.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы:
- в январе 2026, 2027, 2028 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе 2029, 2030, 2031 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 984 тысячи рублей. Найдите r.
Эта задача на дифференцированный платеж. В работе предлагается табличный способ решения задачи. Все величины и данные, и искомые обозначаются переменными, устанавливается между ними связь, а числовые значения подставляются в самом конце, чтобы получить уравнение с одной переменной и решить его.
№18
Найдите все значения а, при каждом из которых имеет ровно два различных корня уравнение
.
Это самое сложное задание данной работы. Его решение предлагается двумя способами:
- аналитическим, где находятся корни данного уравнения, содержащие параметр, и проверяются условия их принадлежности ОДЗ и совпадения;
- координатно-параметрическим в системе xOa.
№19.
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр - целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 55?
б) Может ли это отношение быть равным 87?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 7?
В этой задаче вполне можно решить первые два пункта.
В пункте а) достаточно привести пример, то есть можно просто подобрать числа, удовлетворяющие условию задачи.
В пункте б) необходимо обоснованное доказательство того, что такого отношения не может быть.
Решение в пункте в) сложное, здесь применяется метод: оценка плюс пример.