Квадратное уравнение на уроках математики в 8-м классе

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, можно найти ответы на различные вопросы из науки и техники.

Тема «Квадратные уравнения» изучается в 8 классе. Основная цель - выработать умения решать квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач. Знать,что такое квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение; формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, терему Виета и обратную ей;какие уравнения называются дробно-рациональными, какие бывают способы решения уравнений, понимать, что уравнение - это математический аппарат решения разнообразных задач математики, смежных областей знаний, практики.

В изучение этой темы включены:

1. Основные понятия (определение квадратного уравнения полного (приведённого), неполного квадратного уравнения).
2. Обзор известных способов решения квадратных уравнений
3. Формула корней квадратного уравнения
4. Решение задач с помощью квадратных уравнений
5. Теорема Виета
6. Решение дробных рациональных уравнений
7. Решение задач с помощью рациональных уравнений

Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратных уравнений происходит постепенно. При изучении темы «Квадратные уравнения» можно выделить следующие этапы:

I этап - «Решение неполных квадратных уравнений».

II этап - «Решение полных квадратных уравнений и приведенных квадратных уравнений».

III этап - «Решение задач с помощью квадратных уравнений».

Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, с постепенным их накапливанием и «фонда» тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим.

На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

а ≠ 0 b=0, c ≠0	а ≠0, b≠0, с=0	а ≠ 0, с=0, b=0
ax2 + c= 0	ax2 + bx = 0	ax2 = 0

На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах² + bx + c = 0, где a, b, c - некоторые числа, а,b,с ≠ 0, х - переменная. Сначала рассматривается решения полного квадратного уравнения способом выделения квадрата двучлена. Далее с помощью математических преобразований, учащиеся приходят к понятию «дискриминант D» и рассматривают различные случаи в зависимости от значения D.

Формулу D=b²- 4ас, называют формулой корней квадратного уравнения. Из этой формулы получают другую формулу, которой удобно пользоваться при решении квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом.

Уравнение вида ах²+2kх+с=0, Если D1≥0, то, где D1=k²-ас. Если D1<0, то уравнение корней не имеет.

Учащиеся после изучения алгоритма решения квадратного уравнения, приступают к решению задач с помощью квадратных уравнений. На этом этапе учащиеся прослеживают практическую связь данной темы, когда им предлагаются задачи из других областей (физика, техника), а так же геометрические задачи, которые решаются с помощью квадратных уравнений.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение и доказательство теоремы Виета и обратная ей. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной - только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключение теоремы. Далее рассматриваются дробные рациональные уравнения. Отрабатывается алгоритм решения таких уравнений.

Алгоритм решения:

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
2. Умножить на общий знаменатель обе части уравнения.
3. Решить полученное целое уравнение.
4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

• преобразования данного уравнения к простейшим;
• решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

На последующих уроках рассматриваются задачи на составление рациональных уравнений.

Чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны

знать:

• формулу нахождения дискриминанта;
• формулу нахождения корней квадратного уравнения;
• алгоритмы решения уравнений данного вида;

уметь:

• решать неполные квадратные уравнения;
• решать полные квадратные уравнения;
• решать приведенные квадратные уравнения;
• делать проверку.

Работая по Стандартам второго поколения, мы должны перестроить свой урок. Ученику не дается готовый материал, а создается такая ситуация на уроке, где ребёнок должен Сам: сам задать и ответить на вопрос: «Зачем ему это надо? Зачем ему этот материал?»; сам, сталкиваясь с проблемой, находить пути её решения и средства, с помощью чего он их достигнет. Учитель на уроке выступает уже в роли помощника, наталкивая на ту или иную деятельность.

Поэтому современные уроки могут содержать постановку проблемы; возможные пути её решения, чтобы ученик сам определялся с дальнейшими действиями; схемы, классификацию понятий, задания на соотнесение; задания и действия, условия, которые заставляли учащегося мыслить.

Заключение

При изучении темы: «Квадратные уравнения», необходимо выполнить отбор средств обучения теме, в том числе и средства ИКТ.

Стремительные изменения в обществе и экономике требуют от человека умения быстро адаптироваться к новым условиям, находить оптимальные решения сложных вопросов, проявляя гибкость и творчество, не теряться в ситуации неопределенности, уметь налаживать эффективные коммуникации с разными людьми и при этом оставаться нравственным.

Задача современной школы - подготовить выпускника, обладающего необходимым набором современных знаний, умений и качеств, позволяющих ему уверенно чувствовать себя в самостоятельной жизни.

Список литературы

1. Асмолов А.Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя/под ред. А.Г.Асмолова. - М.: Просвещение, 2010. - 159 с.
2. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под ред. С.А.Теляковского. - М.: Просвещение, 2008.
3. Боженкова Л.И. Алгебра в таблицах. Учебные материалы. изд. 2-е испр. и доп. - М., Калуга: КГУ им. К.Э.Циолковского, 2012. - 56 с.
4. Жохов В.И. Уроки алгебры в 8 классе: книга для учителя (В.И.Жохов, Г.Д.Карташева. - М.: Просвещение, 2008.
5. Примерные программы по математике. - М.: Просвещение, 2010. - 67 с.
6. Федеральный государственный образовательный стандарт общего основного образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. - М.: Просвещение, 2011. - 48 с.