Функциональная линия школьного курса математики является одной из ведущих, определяющих стиль изучения многих тем и разделов курса алгебры. Изучение функций и их свойств имеет огромное развивающее значение для учащихся, позволяет раскрыть внутренние связи между понятием функции и другими понятиями школьного курса математики, например, такими как уравнение и неравенство. Исследуя функции, дети учатся строить зависимости между величинами, на основе исследований делать выводы, устанавливать связи между различными понятиями. Одним из примеров является связь между функциями и уравнениями, которые занимают ведущее место в школьном курсе алгебры. До изучения методов решения квадратных уравнений школьникам можно предложить задачи, в которых требуется решить простейшие уравнения на основе использования свойств квадратичной функции. Например, уравнения вида x2−4=0 или x2−2x+1=0. Так как к моменту изучения квадратичной функции ученики уже знакомы с определением понятия «уравнение» и знают, что означает «решить уравнение», то предложив им построить график функции, стоящей слева от знака равно, то они с легкостью найдут решение соответствующего уравнения.
Построим график функции y = x2 − 4. График искомой функции получается из графика функции y = x2 путем смещения вниз на 4 единицы вдоль оси Oy. Для определения решения уравнения x2 − 4 = 0 нам достаточно определить точки пересечения с осью абсцисс. Таким образом, корни уравнения: x1 = 2, x2 = −2 (рис. 1).
Рис.1
Для определения решения уравнения x2−2x+1=0 построим график функции y=x2−2x+1. Легко заметить, что график этой функции можно получить из графика функции y=x2 путем смещения его вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо. Аналогично, по проведенному построению определяем точки пересечения параболы с осью абсцисс и делаем вывод, что уравнение имеем один корень: x1 = 1 (рис. 2).
Рис.2
Также рекомендуется рассмотреть уравнения, для которых соответствующая квадратичная функция не будет пересекать ось абсцисс, т.е. уравнение не будет иметь решения. Таким образом, мы подготавливаем учащихся к анализу количества возможных решений квадратного уравнения.По мере углубления курса усложнять задачи, предлагая задания исследовательского характера.
Пример 1. Найти все значения параметра a, при котором уравнение x2−4x - 5 = a имеет:
а) 2 корня;
б) единственный корень;
в) не имеет решений.
Решение. Построив график функции (с помощью таблицы или используя элементарные преобразования), школьники достаточно легко определят точки пересечения с осью абсцисс: x1 = 5, x2 = -1, т.е. корни уравнения x2−4x - 5 =0 (рис. 3).
Рис.3
Далее проводя исследование построенного графика, легко определяется значение параметра a:
а) если a >−9, то уравнение имеет 2 корня;
б) если a =−9, то уравнение имеет единственный корень;
в) если a<−9, то уравнение не имеет решений.
Пример 2.Сколько решение имеет уравнение |x2−2x- 3| = 4.
Решение. Построим график функции, стоящей в левой части нашего уравнения. Поскольку присутствует модуль, сначала строим график функции, стоящей под знаком модуля: y = x2−2x - 3. Это парабола, ветви направлены вверх, имеющей следующие точки пересечения с осью абсцисс: x1 = 3, x2 = -1 (рис. 4).
Рис.4
После того, как график данной функции построен, легко построить график функции с модулем: y = |x2−2x - 3|, для этого все отрицательные значения функции зеркально отображаются относительно оси абсцисс (рис. 5).
Рис.5
Далее необходимо найти точки пересечения графика функции, изображенной на рис. 5 с прямой y=4. Исходя из проведенного построения (рис. 6), можно сделать вывод, что |x2−2x- 3| = 4 имеет ровно три решения.
Рис.6
Следующим важным разделом в обучении математики являются неравенстваи методы их решений. Основной метод решения неравенств - метод интервалов. Но также,как и при решении квадратных уравнений, так и при решении квадратных неравенств можно использовать свойства функции.
Например, рассмотрим неравенство -x2 + 16x - 63 < 0 . Для его решения построим график функции y=-x2 + 16x - 63 < 0. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз и имеющей с осью абсцисс следующие точки пересечения: x1 = 7, x2 = 9 (рис. 7).
Рис.7
Так как мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком «<», то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс (рис. 8).
Рис.8
Из построенного графика следует, что решениями исходного квадратного неравенства являются два промежутка (−∞, 7)∪(9, +∞).
Также используя график квадратичной функции, можно определить условия, при которых соответствующие квадратные неравенства будут иметь бесчисленные множества решений или не будут иметь решения вообще.
Таким образом, используя методическую схему «функции - уравнения - неравенства» в обучении математики можно показать, насколько тесно связаны такие математические понятия, как «функция», «уравнение», «неравенство» и каким образом можно проводить пропедевтику возможных решений уравнений и неравенств.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова. Алгебра 8 класс. Москва: Просвещение, 2013. 284 с.