Урок-лекция Математическое творчество на примере темы «Делимость чисел»
За 1-2 часа невозможно показать всё многообразие идей и методов решения задач, особенно олимпиадных. На нашем занятии я хочу показать вам не только как решать задачи, но и показать, как они рождаются. Ведь придумать и решить свою новую задачу интереснее, чем решить готовую. Это творческий процесс, а Математика — это простор для полёта фантазии.
Начнём с разминки. Вы знаете, что все натуральные числа, кроме 1, делятся на простые и составные. Простые числа делятся нацело только на самих себя и на единицу. Если у числа есть хотя бы один другой (неравный самому себе и единице) делитель, то оно является составным. Доказать, что число простое гораздо труднее, чем доказать, что число составное. Приведу примеры.
№1. Простыми или составными являются числа?
а) 2019=3·673 – составное (нам это ещё пригодится).
б) 2017 – простое (Вспомнить критерий простоты числа).
в) 20172 +1 - число чётное, а, значит, составное.
Заметим, чтобы придумать своё интересное составное число, нужно к 20172 прибавить любое нечётное, так появляется задача: простое или составное число 20172 + 20192019?
г) 20172 – 4. Это число нечетно, а поэтому может оказаться простым, но ведь это разность квадратов, поэтому оно будет делиться на каждую из скобок (2017-2)·(2017+2), то есть это число поделится на 2019 и является составным. Что можно поменять в числе г), чтобы идея решения осталась той же, а число стало «интереснее»: 20172018 -4 – составное.
д) 22019 +1. Вспомним, что 2019=3·673, поэтому 22019 +1=(2673)3 +1 – сумма кубов, которая раскладывается на две скобки, каждая из которых является делителем, а значит это составное число. Попробуйте на основе вышеизложенных идей придумать свои составные «необычные» числа.
Проверять число на простоту помогают признаки делимости. В школе изучаются многие из них, например, на 2,5,3,9. Несложные признаки делимости на 4 и 8. Из любой пары взаимно простых чисел можно получить путём их перемножения новые признаки: на 6 (если делится на 2 и 3) на 15 (если делится на 3 и 5). Подчеркну, что это работает только для взаимно простых пар. Утверждение: если число делится на 2 и на 4, то оно поделится на 8 неверно. Интересны признаки делимости на 7 и 11 – почитайте о них сами. Вообще, в теории чисел есть теорема Паскаля, которая позволяет найти признак делимости на любое число, правда для больших чисел проще посчитать в столбик, чем пользоваться этой теоремой.
№2. Можно ли получить пятизначное число простое число, переставляя цифры 1, 2, 3, 4 и 5? Сумма цифр в любом таком числе равна 15, значит, любое такое число поделится на 3, а, значит, будет составным, а простое получить нельзя. С этой задачей тесно связана такая задача.
№3. Запись натурального числа состоит из одной «1», двух «2», трёх «3» и т.д. девяти «9». Может ли оно быть точным квадратом? Его сумма цифр равна 285 делится на 3, но не делится на 9, а поэтому не может быть точным квадратом. Из этой же серии ещё одна задача.
№4. Существует ли такое натуральное n, что 2018n содержит в своей записи поровну единиц, двоек, троек и т.д. девяток? Так как 1+2+…+9=45, то сумма цифр кратна 45, то есть делится на 3, а число 2018n на 3 не делится. Ответ: не существует.
Как-то на уроке я спросил, каким будет признак делимости на 6, а ученик ответил, что если сумма цифр делится на 6, то и само число делится на 6. Верно ли это утверждение? Нет, пример: 12. Но у меня в голове возникла задача (не исключено, что просто всплыла из памяти).
№5. Для каких натуральных n>1 справедливо утверждение: если сумма цифр делится на n, то и само число делится на n. Мы знаем ответ для n=3 и n=9, а есть ли другие? Решение. Рассмотрим два числа с суммой цифр равной n. 
и 
. Их разность также должна делиться на n, но А-В=9, поэтому n=3 или 9, то есть для других чисел признак с суммой цифр не работает.
Напомню вам ещё один важный и знакомый факт. Если число a при делении на b даёт в частном q, а в остатке r, то справедливо равенство a=bq+r. Так, например, при делении числа а на 3 возможны 3 остатка 0, 1 или 2, а значит а=3n или а= 3n+1 или а=3n+2.
№6. Может ли число, делящееся на 8, при делении на 12 давать в остатке 10? Допустим, может. Тогда справедливо равенство: 8а=12в+10. Присмотримся к этому равенству: 8 и 12 оба делятся на 4, а 10 нет. Полученное противоречие доказывает, что такого числа не существует.
Вообще, математику всегда интересно решить задачу различными способами, рассмотреть для неё обратные задачи, обобщить полученное решение. Следуя этой схеме, рассмотрим.
№6. Доказать, что для любых целых m и n, что если (m-n):3, то (m3-n3):9.