Цели урока:
- предметная:
- формирование умения применять геометрическую интерпретацию модуля при решении линейных уравнений;
- метапредметные:
- развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы,
- развитие информационной, коммуникативной, исследовательской компетентностей;
- личностные:
- содействовать формированию личностно-адаптивной компетентности (быть подготовленным к самообразованию и самовоспитанию),
- развивать внимание, способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения, положительного эффекта настойчивости для достижения цели.
Тип урока: изучение нового материала.
Методы организации и осуществления учебной деятельности:
- по источникам знаний: практические;
- по характеру мыслительных операций: индуктивные;
- по степени взаимодействия учитель-ученик: исследование объектов изучения под руководством учителя;
- относительно дидактических задач: обобщение изученного;
- относительно характера познавательной деятельности: исследовательский;
- относительно стимулирования и мотивации учебной деятельности:
- стимулирование интересов к учению: опора на неожиданность, создание ситуации новизны;
- устные и письменные;
- групповые (работа в группах);
- технические (мультимедийная аппаратура).
Оборудование: мультимедийный комплекс, компьютер, задания для групп, геометрическая модель.
Структура урока.
- Психологический настрой на деятельность. Мотивация учебной деятельности.
- Изучение нового материала.
- учебное исследование;
- обсуждение итогов учебного исследования;
- схематизация материала.
- Домашнее задание.
- Рефлексия. Подведение итогов.
Ход урока
I. Психологический настрой на деятельность. Мотивация учебной деятельности
Слайд 1. Записываем дату и тему урока.
Слайд 2. Вспомним:
Модуль числа a равен a, если a больше или равно нулю и равен –a, если a меньше нуля.
Из определения следует, что для любого действительного числа a:
Слайд 3. Решаем устно:
1. |π - 3|;
2. | 
|
3. | 
|
4. 
5. 
6. 
Слайд 4. Работа устно:
Сколько корней имеет данное уравнение? Найдите их.
1. | х |=5,
2. | х |= -6,
3. | х-3 |=5,
4. | 2x+4 |=0.
II. Изучение нового материала
1. Объяснение нового материала
Эти уравнения можно решить другим способом, используя геометрический смысл модуля. Давайте дадим геометрическое истолкование модуля действительного числа а?
Слайд 5. Геометрический смысл модуля:
Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).
Раскрыть модуль:
- Модуль числа 5 равен 5. Пишут: |5| = 5.
- Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6.
- Модуль числа не может быть отрицательным.
- Противоположные числа имеют равные модули:| -а | = | а |
- Как изобразить на координатной прямой | 5 | и | -6 |?
- | 5 | – расстояние от начала координат О до точки В(5).
- | -6 | – расстояние от начала координат О до точки М(-6).
- Почему модуль не может быть отрицательной величиной?
- Почему противоположные числа имеют равные модули?
Слайд 6.
- Как расположены на числовой прямой точки с координатами -4; -2; 1 и 5?
- Как найти расстояние между точками на координатной прямой?
Слайд 7.
- Что называется расстоянием между двумя точками на координатной прямой?
- В чем состоит геометрический смысл модуля разности действительных чисел?
Слайд 8. Прочитать и объяснить словесную запись:
- ρ(х;7)=2 или |x-7|=2
- ρ(х;-4)=3 или |x+4|=3
Записать аналитическую модель рисунка в тетради (рисунок на доске).
Записывают: |х+6|=3
Слайд 9. |х-2|=3
Вопрос: в чем заключается смысл задания с геометрической точки зрения?
Ответ: Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки 2 (изображаем на доске)
Вопрос: Прочитайте данное уравнение с помощью геометрического смысла модуля |х+5|=3, найдите его корни, используя координатную прямую.
Ответ: Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки -5.
Корни уравнения: х=-2; х=-8.
Слайд 9. Решение уравнений с помощью геометрической интерпретации модуля:
| 3х + 6| = 4
Вопрос: Посмотрите внимательно на данное уравнение и попробуйте сами сформулировать задание с геометрической точки зрения
|х-2|=|х+5|
Ответ: Расстояние от х до -5 и 2 должно быть одинаковым.
Вопрос: Попробуйте составить план решения этого уравнения с помощью координатной прямой.
Ответ:
а) найдем расстояние между точками -5 и 2. 5+2=7.
б) т.к. х равноудалена от точек -5 и 2, найдем половину этого расстояния: 7/2=3,5
в) найдем координату точки: -5+3,5=-1,5 или 2-3,5=-1,5
Слайд 10. Вопрос: Как решить уравнение?
|х-5|+|х+1|=8
Ответ: Выражение |х-5| можно истолковать, как расстояние между точками с координатами х и 5.
Выражение |х+1| можно истолковать, как расстояние между точками с координатами х и -1.
Тогда уравнение означает, что нужно найти такую точку Х(х), сумма расстояний от которой до точек с координатами 5 и -1 равна 8.
Расстояние между точками с координатами 5 и -1 равно 6 < 8, следовательно, точка с координатой х находиться вне отрезка [-1;5] и таких точек две.
Корни уравнения: х=-2, х=6
2. Работа в группах
Что произойдет, если вместо 8 взять число 1, 6, 100,…? Сколько будет тогда корней уравнения?
Карточка 1 группе (Приложение 1):
Решите уравнение |х-5|+|х+1|=1 и свяжите ответ уравнения с расстоянием между точками с координатами 5 и -1, то есть с числом 6.
Карточка 2 группе (Приложение 1):
Решите уравнение |х-5|+|х+1|=6 и свяжите ответ уравнения с расстоянием между точками с координатами 5 и -1, то есть с числом 6.
Карточка 3 группе (Приложение 1):
Решите уравнение |х-5|+|х+1|=100 и свяжите ответ уравнения с расстоянием между точками с координатами 5 и -1, то есть с числом 6.
3. Проведение учебного исследования в группах
Должны получиться ответы:
При равенстве суммы модулей 1 – нет решений, так как 1<6.
При равенстве суммы модулей 6 – множество решений, так как все точки отрезка [-2;6] удовлетворяют условию уравнения.
При равенстве суммы модулей 100, или любому числу больше 6, уравнение имеет два решения.
4. Выступления от групп. Обсуждение итогов учебного исследования
Слайд 11. Делают вывод:
1. Если сумма модулей больше расстояния между двумя точками, то уравнение имеет два решения.
2. Если сумма модулей равна расстоянию между двумя точками, то уравнение имеет множество решений, которых принадлежат отрезку между точками.
3. Если расстояние между двумя точками меньше суммы модулей, то решений нет.
5. Решают уравнения
а) Вопрос: Посмотрите внимательно на следующее уравнение и прочитайте его с помощью геометрического смысла:
|х-1|+|х-2|=1
Ответ: Левая часть есть сумма расстояний от точки х до 1 и 2.
Правая часть показывает, что эта сумма равна 1.
Найдите расстояние между точками 2 и 1.
Оно равно 1. Следовательно, х может быть любым числом из отрезка [1;2].
Решение уравнения: хЄ[1;2].
б) Вопрос: Посмотрите внимательно на данное уравнение и дайте ответ
|х-1|+|х-2|=-1
Ответ: Уравнение корней не имеет, т.к. сумма расстояний не может быть отрицательным числом.
в) Вопрос: В чем заключается геометрический смысл данного уравнения? |х-1|+|х-2|=3.
Ответ: Сумма расстояний от точки х до 1 и 2 равна 3.
Уравнение имеет 2 корня: х=0;х=3.
г) Аналогично рассуждая, решите сами следующее уравнение:
|х-3|+|х-7|=4
Ответ: хЄ[3;7].
6. Схематизация материала
Слайд 12. Решение заданий с параметром:
Посмотрите внимательно на все решенные уравнения и попробуйте сделать вывод/
- Сколько решений может иметь уравнение | х-4 | = а, в зависимости от значений а?
- Сколько решений может иметь уравнение | х+3 | +| х-1 | = а, в зависимости от значений а?
Слайд 13. Подведение итогов решения заданий с параметром
Число решений уравнения вида: | х – a | + | х – в | = с
- Если сумма модулей с больше расстояния между двумя точками а и в, то уравнение имеет два решения.
- Если сумма модулей равна расстоянию между двумя точками, то уравнение имеет множество решений, которые принадлежат отрезку между точками [ a; в ].
- Если расстояние между двумя точками меньше суммы модулей, то решений нет.
Слайд 14. Домашнее задание.
- |х-13|=8
- |х-28|=|х+14|
- |х-10|+|х-36|=26
- Найти произведение целых корней уравнения
√(х2 + 6х + 9) + √(х2 + 2х + 1) = 2