Введение
Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Неравенства используются в различных разделах математики, при решении важных прикладных задач. Неравенства сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символьном языке записываются важные задачи познания реальной действительности.
Не всякое неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к неравенству того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать другие методы решения, речь о которых и пойдет в данном методическом пособии.
В последние годы в связи с появлением новых форм итоговой и текущей аттестации обучающихся особенно важным становится творческое и осмысленное освоение идей функциональной зависимости, что и обусловливает выбор темы пособия.
Пособие поможет расширить знания обучающихся, улучшить результаты сдачи Единого Государственного Экзамена. Материал пособия представляет собой системное изложение методов и алгоритмов, позволяющих с помощью условий равносильности сводить решение сложных неравенств к решению простых рациональных неравенств, в том числе классическим методом интервалов.
Глава 1. Методы решения неравенств, основанные на использовании свойств функций
1.1. Использование области определения
Рассмотрим основные понятия по данной теме.
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y=f(x) определена. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т.п.).
Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что неравенство не имеет решений, а иногда позволяет найти решения неравенства непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.
Суть этого метода в следующем: если при рассмотрении неравенства выясняется, что обе его части определены на множестве М, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования неравенства, достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного неравенства.
Если множество M, на котором определены обе части неравенства, окажется пустым множеством, то в этом случае неравенство решений не имеет.
Рассмотрим этот метод на следующих неравенствах: