Способность размышлять, анализировать, строить планы, создавать разные проекты ─ очень важные умения, которые в дальнейшем смогут помочь детям самостоятельно принимать решения и действовать в сложных условиях современной жизни. Поэтому, начиная с первых лет обучения, нужно приучить учащихся к самостоятельной работе, к поиску нетрадиционных решений, к творческой работе. Если учитель не будет постоянно заботиться о развитии мышления, поставляя “пищу для ума”, то учащиеся не смогут состояться как творческие личности. Математика в этом плане обладает исключительными возможностями.
Математические задачи - главное звено в формировании творческого мышления. На уроках математики при решении задач учащиеся применяют определенные знания, умения и навыки. Их роль заключается в обработке и закреплении конкретных умений и навыков. При этом известная алгоритмизация способов их решения ограничивает творческий поиск учащихся. Учащиеся, постоянно следуя жестко предписанным операциям, привыкают к однотипным действиям, быстро теряют свои наклонности к оригинальным решениям. Творчество – это, прежде всего умение, отказаться от стереотипов мышления, только в этом случае можно создать что-то новое. В этом отношении большие возможности имеются на уроках математики, в частности при решении нестандартных задач.
Нестандартная задача в отличие от традиционной не может быть непосредственно решена по какому-либо алгоритму. Такие задачи не сковывают ученика жесткими рамками одного решения. Необходим поиск решения, что требует творческой работы мышления и способствующий его развитию. Решение нестандартных задач – процесс сложный. При решении таких задач дети встречают трудности. Это объясняется такими причинами: из-за неуверенности в своих возможностях и боязни их трудности, отсутствием необходимого для этого умения и навыков. Только при систематической работе можно достичь желаемого результата. Решая нестандартные задачи, дети сами приходят к выводу, что есть задачи, которые не решают сразу одним действием, что надо анализировать, сравнивать, рассуждать.
Решение нестандартных задач расширяет математический кругозор, формирует неординарность мышления, умения применять знания в нестандартных ситуациях, развивает упорство в достижении поставленных целей, прививает интерес к изучению математики. Воспитывается любознательность, самостоятельность, активность, инициативность.
В школьном курсе математики выделены четыре основных метода решений уравнений: разложение на множители, замена переменной, переход от равенства функции к равенству аргументов, функционально-графический. Надо сказать, что существует огромное количество творческих задач, требующих нетрадиционного метода их решения. Одним из способов решения нестандартных уравнений является метод оценок. Нередко учащиеся не могут справиться даже с простейшими задачами, что свидетельствует об отсутствии у них навыков решения задач методом оценки. Попросим ученика решить, допустим, уравнение: cosx + cos3x = 2. С чего начинает решение ученик? С представления левой части уравнения в виде произведения. Однако этот путь нахождения корней уравнения довольно длинный, так как его часть отлична от нуля. Проще использовать свойство ограниченности тригонометрических функции, поэтому сумма косинусов может быть равной 2 только в том случае, когда оба слагаемых одновременно будут равны по 1.
Учащиеся, владеющие только стандартными методами решения уравнений концентрируют свое внимание только на поиске преобразований, сводящих исходное уравнение к более простому, забывая при этом, что упрощение полезно и возможно не всегда.
При решении задач данным методом развивается гибкость мышления, формируется умение анализировать, проводить сравнение, обобщать факты и делать выводы. Рассуждения учащихся становятся последовательными, доказательными. Для решения нестандартных задач наиболее эффективный способ – вооружить детей теми приемами умственной деятельности, которые необходимы при этом: анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация.
Нестандартными обычно называются равнения вида f(x) = g (x), где f(x) и g (x) – функции совершенно разного типа.
Существуют теоремы, способные облегчить решение данных уравнений. Например, одна из них:
Если на некотором промежутке I наибольшее значение f(x) равно числу А, а наименьшее значение g (x) тоже равно числу А, то уравнение f(x) = g (x) равносильно системе из двух уравнений: f(x) = А и g (x) = А на данном промежутке I.
Для подтверждения правильности теоремы рассмотрим уравнения: х2 + 1 = cosх .
По теореме получаем систему из двух уравнений: х2 + 1 = 1 и cos х = 1. Ответ: х=0.
Очень часто метод оценки называют «методом мажорант». «Метод мажорант» - это прием, который можно назвать оценкой соответствующих значений функции.
Определение. Мажорантой данной функции f(x) на множестве Р называется такое число М, что-либо f(x) ≤ М, для всех х ϵ Р, либо f(x) ≥ М для всех х ϵ Р.
Как искать такое число М? Для того, чтобы найти мажоранту нужно:
а) найти D(f) функции;
б) найти E(f) функции;
в) исследовать функцию на экстремум;
г) если функция определена на отрезке, найти наибольшее и наименьшее значения;
Рассмотрим уравнения:
Пример 1. Решите уравнение: - cos (7π х) = х2 - 6х + 10
Решение: Для любого действительного α │cos α│ ≤ 1, следовательно, для любого х ϵ R - cos (7π х) ≤ 1. Преобразовывая правую часть, получим:
х2 - 6х + 10 = х2 - 6х + 9 + 1 = (х – 3)2 + 1 ≥ 1.
Таким образом, левая часть уравнения не больше 1, а правая не меньше 1. Поэтому равенство может достигаться только в том случае, если обе части равны 1, т.е. исходное уравнение равносильно системе из двух уравнений: - cos (7π х) = 1 и (х – 3)2 + 1 = 1
Несложно заметить, что второе уравнение имеет единственный корень х = 3. Подставляя полученное значение в первое уравнение, получим истинное равенство.
Ответ: х = 3.
Пример 2. Решите уравнение: сos6 х + sin23х + 4sin9х = 7
Решение: Сумма коэффициентов перед тригонометрическими функциями в левой части равна 6, что меньше 7. Это наталкивает на мысль о решении уравнения методом оценки. Действительно, сos6х ≤ 1, sin23х ≤ 1, 4sin9х ≤ 4. Следовательно, левая часть не превосходит 6 при любом х, поэтому уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: решений нет.
Все разработанные выше задачи достаточно не похожи друг на друга, однако их решения содержат общую идею – оценить одно аналитическое выражение другим выражением (чаще всего конкретным числом), «снизу», а другое – этим же числом «сверху».
Список литературы
- Аксенов А.А. Решение задач методом оценки //Математика в школе. - 1999. №3.
- Барчунова Ф.М., Денищева Л.О. Применение свойств функции при решении уравнении // Математика в школе. – 1992. №6.
- Кирсанов А.А., Зайцева Ж.А. Развитие творческой активности учащихся в педагогическом процессе.- Казань, 1995. 103с.
- Полякова Н.В. Решение нестандартных уравнений //Математика в школе. – 2004. №7.