Исследовательская работа посвящена вычислению площади треугольника.
Актуальность исследования обусловлена ежегодным усложнением заданий ЕГЭ, что требует углубленных знаний не только в алгебре, но и геометрии.
Цель: доказать и исследовать различные формулы для вычисления площади треугольника.
Формулы для площади треугольника, составленные и доказанные в данной работе, применимы не только для нахождения площади, но и для отыскания других элементов фигур (угла, стороны, периметра и радиуса, вписанной, вневписанной и описанной окружностей).
1. .
2. .
3. .
Доказательство этих формул приводить не будем, оно известно большинству учеников.
4. .
Доказательство.
(рисунок 1).
Рисунок 1
5. .
Доказательство. Воспользуемся формулой . Для этого умножим на 2 и возведём в квадрат обе части равенства:
или
.
6. .
Доказательство. Воспользуемся формулой Герона: ;
. Следовательно,
.
7. .
Доказательство. По теореме синусов и применяя формулу (2), получим:
.
8. .
Доказательство. По теореме синусов . Используя формулу (2), имеем:
.
9. .
Доказательство. Из теоремы синусов имеем (рисунок 1): . Учитывая, что
и
, получим:
;
. Подставляя в формулу (8) имеем:
, получим:
.
10. .
Доказательство. Из прямоугольного ∆AOK: , из прямоугольного ∆COK:
(рисунок 1). Складывая эти равенства, получаем:
. Аналогично можно получить, что
и
. Используя формулу (4), получим:
.
11. .
Доказательство. (рисунок 2).
Рисунок 2
По второй формуле имеем: . Аналогично:
и
. Следовательно:
.
12. .
Доказательство. По теореме косинусов:
Имеем: Следовательно:
Отсюда находим площадь треугольника:
.
13. .
Доказательство. По теореме синусов имеем: . Поэтому, используя формулу (2), получим:
.
§ 2. Площадь треугольника, связанная с элементами вневписанной окружности
Вспомогательная задача. Доказать, что а) ;
б) ; в)
; г)
.
Доказательство. Пусть вписанная окружность касается стороны ВС в точке К, а вневписанная – в точке L (рисунок 3). Тогда ВС = ВК + КС = и ВС = ВL + LC =
LB
+
LC
=
. Кроме того р–b = ВК =
и р – b=СL=
. Если вневписанная окружность касается продолжений сторон АВ и АС в точках P и Q, то р = АР =АQ =
.
Рисунок 3
14. ; б)
; в)
.
Доказательство.
15..
Доказательство. Согласно задаче =
и
=
;
=
и
р. Перемножая эти пары равенств, получаем р(р-a)=
и (р–в)(р–с) =
и подставляя в формулу Герона, получаем исходную.
16. .
Доказательство. Согласно задаче и
. Подставляя в формулу
, получаем исходную.
17. .
Доказательство. Согласно задаче и
=
. Перемножая эти равенства, получаем rp =
, следовательно
. Аналогично,
. Поэтому
и
, а значит,
.
18. а); б)
; в)
.
Доказательство. Согласно задаче (приложение 1) р = АР =АQ = . Используя формулу
, получаем
.
19. .
Доказательство. Согласно задаче ;
и
. Перемножая эти равенства, получаем
. Подставляя в формулу Герона будем иметь:
. Следовательно,
.
20. .
Доказательство. Используя формулы: , нетрудно получить исходную формулу.
21. .
Доказательство. Эту формулу несложно получить, используя задачу и формулу (6). Имеем: , тогда
.
Автором самостоятельно составлены и доказаны формулы площади треугольника, которые можно использовать в задачах для нахождения неизвестных величин.
Геометрический материал этой работы богат и многообразен, его можно использовать на факультативах учащихся, интересующихся математикой.
Список литературы:
- Андреев П. П., Шувалова Э. З. Геометрия, М.: «Наука» 1975, с. 101-109.
- Гейдман Б.П. Издательство Московского Центра непрерывности математического образования. Москва 2001,с. 6-20.
- Шавулова Э. З., Каплун В. И. Геометрия, М.: «Высшая школа» 1980, с. 120-126.