Исследовательская работа посвящена вычислению площади треугольника.
Актуальность исследования обусловлена ежегодным усложнением заданий ЕГЭ, что требует углубленных знаний не только в алгебре, но и геометрии.
Цель: доказать и исследовать различные формулы для вычисления площади треугольника.
Формулы для площади треугольника, составленные и доказанные в данной работе, применимы не только для нахождения площади, но и для отыскания других элементов фигур (угла, стороны, периметра и радиуса, вписанной, вневписанной и описанной окружностей).
1. 
.
2. 
.
3. 
.
Доказательство этих формул приводить не будем, оно известно большинству учеников.
4. 
.
Доказательство. 
(рисунок 1).
Рисунок 1
5. 
.
Доказательство. Воспользуемся формулой 
. Для этого умножим на 2 и возведём в квадрат обе части равенства: 
или 
.
6. 
.
Доказательство. Воспользуемся формулой Герона: 
; 
. Следовательно, 
.
7. 
.
Доказательство. По теореме синусов 
и применяя формулу (2), получим: 
.
8. 
.
Доказательство. По теореме синусов 
. Используя формулу (2), имеем: 
.
9. 
.
Доказательство. Из теоремы синусов имеем (рисунок 1): 
. Учитывая, что 
и 
, получим: 
; 
. Подставляя в формулу (8) имеем: 
, получим: 
.
10. 
.
Доказательство. Из прямоугольного ∆AOK: 
, из прямоугольного ∆COK: 
(рисунок 1). Складывая эти равенства, получаем: 
. Аналогично можно получить, что 
и 
. Используя формулу (4), получим: 
.
11. 
.
Доказательство. 
(рисунок 2).
Рисунок 2
По второй формуле имеем: 
. Аналогично: 
и 
. Следовательно: 
.
12. 
.
Доказательство. По теореме косинусов: 
Имеем: 
Следовательно: 
Отсюда находим площадь треугольника: 
.
13. 
.
Доказательство. По теореме синусов имеем: 
. Поэтому, используя формулу (2), получим: 
.
§ 2. Площадь треугольника, связанная с элементами вневписанной окружности
Вспомогательная задача. Доказать, что а) 
;
б) 
; в) 
; г) 
.
Доказательство. Пусть вписанная окружность касается стороны ВС в точке К, а вневписанная – в точке L (рисунок 3). Тогда ВС = ВК + КС =
и ВС = ВL + LC =
LB
+ 
LC
= 
. Кроме того р–b = ВК = 
и р – b=СL= 
. Если вневписанная окружность касается продолжений сторон АВ и АС в точках P и Q, то р = АР =АQ = 
.
Рисунок 3
14. 
; б) 
; в) 
.
Доказательство. 
15.
.
Доказательство. Согласно задаче 
=
и 
=
; 
=
и 
р. Перемножая эти пары равенств, получаем р(р-a)=
и (р–в)(р–с) =
и подставляя в формулу Герона, получаем исходную.
16. 
.
Доказательство. Согласно задаче 
и 
. Подставляя в формулу 
, получаем исходную.
17. 
.
Доказательство. Согласно задаче 
и 
= 
. Перемножая эти равенства, получаем rp = 
, следовательно 
. Аналогично, 
. Поэтому 
и 
, а значит, 
.
18. а)
; б) 
; в) 
.
Доказательство. Согласно задаче (приложение 1) р = АР =АQ = 
. Используя формулу 
, получаем 
.
19. 
.
Доказательство. Согласно задаче 
; 
и 
. Перемножая эти равенства, получаем 
. Подставляя в формулу Герона будем иметь: 
. Следовательно, 
.
20. 
.
Доказательство. Используя формулы: 
, нетрудно получить исходную формулу.
21. 
.
Доказательство. Эту формулу несложно получить, используя задачу и формулу (6). Имеем: 
, тогда 
.
Автором самостоятельно составлены и доказаны формулы площади треугольника, которые можно использовать в задачах для нахождения неизвестных величин.
Геометрический материал этой работы богат и многообразен, его можно использовать на факультативах учащихся, интересующихся математикой.
Список литературы:
- Андреев П. П., Шувалова Э. З. Геометрия, М.: «Наука» 1975, с. 101-109.
- Гейдман Б.П. Издательство Московского Центра непрерывности математического образования. Москва 2001,с. 6-20.
- Шавулова Э. З., Каплун В. И. Геометрия, М.: «Высшая школа» 1980, с. 120-126.