Цели занятия:
- Обучающие – познакомить обучающихся с понятием «парадокс», обсудить задачи на рассмотрение парадоксальных ситуаций;
- Воспитательные – воспитание культуры поведения, навыков работы в парах, культуры речи.
- Развивающие – развитие логики мышления, умений концентрировать внимание, анализировать созданную ситуацию.
Место занятия в учебной теме: первый урок по теме «Парадоксы и софизмы».
Оборудование: карточки с задачами для работы в парах.
Ход занятия
I. Проверка домашнего задания.
Фронтальная проверка с обязательным разбором невыполненных заданий.
II. Изучение нового материала.
Современным математикам известен древнегреческий миф о бегуне Ахиллесе и черепахе. Я хочу предложить эту историю вашему вниманию.
Ахиллес находится в пункте А на некотором расстоянии от пункта В, в котором расположилась черепаха. В один и тот же момент они начинают двигаться в одном направлении, причём черепаха устремилась от Ахиллеса со скоростью, например, в 100 раз меньшей скорости бегуна. Житейский опыт говорит о том, что Ахиллес довольно быстро догонит черепаху. Однако, если воспользоваться рассуждениями математиков, то можно показать, что этого никогда не случиться. Действительно, к моменту, когда Ахиллес достигнет пункта С – середины первоначального расстояния АВ между Ахиллесом и черепахой, последняя. Пусть на небольшое расстояние, но всё же удалится от пункта В. Далее Ахиллес добежит до середины Д отрезка СВ, затем до середины Е отрезка ДВ и т.д. Всё это время черепаха будет удаляться от точки В.
Итак, чтобы достигнуть В, Ахиллесу необходимо побывать в каждом из бесконечной последовательности пунктов С, Д, Е, …Однако кажется очевидным, что невозможно за конечное время побывать в бесконечном количестве различных пунктов. Следовательно, Ахиллес никогда не достигнет пункта В и тем более не догонит черепаху.
Ситуация, которая была предложена вашему вниманию, носит название парадокса.
Сам термин парадокс состоит из двух греческих слов para, что означает против иdoxa – мнение, т.е. дословно переводится как противоречивое мнение.
В широком смысле парадокс – высказывание, истинность которого неочевидна; в этом смысле парадоксальными принято называть любые неожиданные противоречивые высказывания. Особенно если неожиданность их смысла выражена в остроумной форме.
В математике парадокс – ситуация, когда в данной теории доказываются два взаимоисключающих суждения, причём каждое из них выведено убедительными сточки зрения данной теории средствами, т.е. парадокс – высказывание, которое в данной теории равным образом может быть доказана и как истина, и как ложь.
Парадоксы, как правило, свидетельствуют о недостатках данной теории, о её внутренней противоречивости. В науке нередко обнаружение парадокса в рамках данной теории приводило к существенной перестройке всей теории и служило стимулом для дальнейших более глубоких исследований. Анализ парадоксов способствовал как пересмотру взглядов на проблему обоснования, так и развитию многих современных идей и методов. Этими вопросами занимается наука, которая носит название математическая логика.
А теперь обратимся к рассмотренной выше задаче об Ахиллесе и черепахе. Оказывается парадокс, заложенный в ней разрешим, что стало возможным после введения в теорию действительных чисел так называемой аксиомы Архимеда: для любых положительных чисел a и b найдётся натуральное число n такое, что a ‧ n >b.
Другими словами, за конечное время п Ахиллес пробежит расстояние, намного превышающее АВ, а также расстояние от А до точки, где через время п будет находиться черепаха, т.е. за конечное время Ахиллес не только не догонит, но и перегонит черепаху.
III. Решение задач по теме.
Решение каждой из предложенных задач обсуждаются в парах, затем – озвучиваются классу.
Задача 1. Деревенский парикмахер.
В деревне только один парикмахер, но он бреет тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя? – задали вопрос мудрецу.
Если он себя не бреет, то он относится к тем жителям деревни, которых он должен брить. Значит, он должен себя брить. Если же он себя бреет, то он не относится к тем жителям своей деревни, которых он должен брить. Значит, он не должен себя брить. Вот и весь ответ на ваш вопрос, – ответил мудрец.
В чём парадокс данной ситуации?
(Парадокс в том, что если парикмахер себя не бреет, то он должен брить, а если он себя бреет, то не должен этого делать. Парадокс разрешить невозможно, т.к. ситуация говорит о том, что такой парикмахер не может существовать вообще в силу того, что условие, которому должен удовлетворять деревенский парикмахер, является внутренне противоречивым и, значит, заведомо невыполнимым).
Задача 2. Мудрец на необитаемом острове.
Хорошо известна следующая легенда: один мудрец, оказавшийся на необитаемом острове, сказал, что все люди, находящиеся на острове, лжецы. Проанализируйте данную ситуацию и скажите, можно ли её назвать парадоксальной. Свой ответ обоснуйте.
(Можно. Если все люди, находящиеся на острове, лжецы, а сам мудрец находится на острове, то и он лжец. Другими словами, то, что он сказал, неправда. Следовательно, не все люди, находящиеся на острове, лжецы, но так как на острове всего один человек – мудрец, то он не лжец и сказал правду, что все люди, находящиеся на острове, лжецы. Но тогда мудрец тоже лжец, следовательно, он сказал неправду, поэтому он не лжец, т.е. то, что он сказал правда и т.д. и т.д. Понятно, что так можно рассуждать до бесконечности).
Задача 3. Два слова, спасшие жизнь.
Рассказывают, что во время франко-прусской войны произошёл следующий любопытный случай.
Один французский офицер имел несчастье попасться в плен к пруссакам, и его по подозрению в шпионаже было решено судить по законам военного времени, которые, как известно, карают за шпионаж смертной казнью.
Когда подсудимому вынесли смертный приговор и несчастный, выслушав его, уже готов был покориться своей участи, судьям пришло в голову оказать осуждённому снисхождение, которое было весьма странного вида.
– Вам, молодой человек, – сказали они офицеру, – предлагается в виде особой милости самому выбрать род казни: или смерть через повешение, или расстрел. Для этого мы предлагаем вам произнести какую-нибудь фразу, заключающую в себе или явную правду, или явную ложь. При этом заметьте, что за сказанную вами правду вы будете повешены, а за неправду вас расстреляют.
Всё это было, конечно, очень жестоко, немилосердно, но… странное дело! По мере того, как молодой человек слушал бесстрастную речь своих судей, его бледное умное лицо прояснялось всё более и более, и, наконец, после некоторых раздумий он медленно произнёс … .
Попробуйте сообразить, какие два спасительные слова произнёс офицер?
(Судьи своим решением создали парадоксальную ситуацию. Офицер понял это и произнёс два слова:
– Меня расстреляют!
– Ну и что же? Что вы хотите этим сказать? – спросили судьи с недоумением.
– Только то, что вы потребовали от меня! – ответил молодой человек. – Я сказал фразу, а что она в себе заключает – правду или неправду – судить вам! Но предупреждаю вас, господа судьи, что, какой бы род казни вы не применили ко мне, теперь вы всё равно будете глубоко неправыми и несправедливыми судьями, которые не умеют держать своё слово.
Дерзкая речь француза задела за живое судей. Но офицер поспешил пояснить сказанное:
– Я сказал: «Меня расстреляют». Значит, если вы меня повесите, то окажется, что я сказал неправду, а за неправду вы меня обещали расстрелять. Если же вы решите меня подвергнуть расстрелу, то окажется, что я сказал правду, а за правду меня следует повесить. Понятно, что и в том, и в другом случае вы будете неправы, но … я к вашим услугам!
Судьи настолько были поражены простой, логичной и остроумной речью молодого французского офицера, что, из уважения к его уму, единогласно решили его помиловать).
IV. Задание на дом.
- Можно ли назвать ситуацию, описанную в «Сказке про белого бычка» парадоксальной? Почему?
- Крокодил украл ребёнка. Он обещал отцу вернуть ребёнка, если отец угадает – вернёт ли ему дитя крокодил или нет. Что должен сделать крокодил, если отец скажет, что крокодил не вернёт ему ребёнка?
- Приведите примеры ситуаций, которые можно считать парадоксальными (для выполнения задания можно воспользоваться книгами, газетами, журналами; воспользоваться жизненным опытом – своим или других людей).