Ни шагу назад, ни шагу на месте,
Только вперед в ногу со временем.
Другой профессии в своем будущем я даже и не представляла - только учителем! А поскольку любимым предметом в школе была математика, то и специальность была выбрана однозначно. И сейчас я живу жизнью своей мечты – я учитель математики.
Как быстро летит время! Кажется, совсем недавно я встретилась со своими первыми учениками. А за плечами уже более 20 лет в школе. Сколько доброго, согревающего душу, приходит на память! Это были годы поисков, раздумий, разочарований, открытий, которые перевернули всю мою жизнь.
В первые годы работы с детьми для меня было странным, почему дети плохо воспринимают информацию, когда все так просто и понятно. Это нам, взрослым, понятно, а им нет. Понадобилось время для понимания и осознания этого. Итак, первый урок, преподнесённый учащимися: настоящий учитель тот, кто способен спуститься с высот своих знаний до незнания ученика и вместе с ним совершить восхождение. Это стало первым принципом, которым я сегодня руководствуюсь в своей педагогической деятельности.
Второй урок, который получила, делая первые педагогические шаги: преподавание должно быть искренним. Ведь только через призму своих мироощущений, своей системы ценностей, отношения ко всему, что происходит вокруг, сухой программный материал становится волшебным кристаллом, сверкающим всеми цветами радуги и зовущим к открытиям. Поэтому второй мой принцип - быть искренним и честным перед детьми.
Вот так, с этих великих для меня открытий во мне рождался учитель.
Каждый ребенок талантлив, талантлив по-своему - такова моя позиция. Не скуплюсь на похвалу. Нет такого «двоечника», которого не за что было бы похвалить. Выделить из потока неудач крошечный островок успеха, дать соломинку помощи, показать тропинку к пониманию - и у ребенка возникнет вера в свои возможности и желание учиться - это мой третий принцип.
Ещё К.Д.Ушинский писал: «…ученье, лишённое всякого интереса, убивает в ученике охоту к ученью…». Поэтому я не могу допустить, чтобы в глазах моих учеников появилось разочарование. Считаю, что интерес – это ключ к знаниям, и его необходимо поддерживать в детях. Умение увлечь учеников своим предметом и есть педагогическое мастерство, к которому мы все стремимся. И это четвертый принцип моей педагогической философии.
На уроках математики необходимо не только формировать математические компетентности, но и воспитывать Человека. И научить его быть стойким и мужественным, умеющим преодолевать трудности взрослой жизни – моя задача. Пусть и языком чисел и формул. Нужна только правильная оболочка. Воспитывай, обучая новому – это мой пятый принцип.
Сейчас мы все переживаем достаточно трудное время. Работа учителя становится все менее привлекательной. Это очень тяжелый труд. Почему же я работаю в школе? Я люблю входить в класс, полный ребят, смотреть на лица своих учеников, чувствовать как с каждым уроком мои ребята все увереннее и увереннее общаются с «царицей наук». Математика для меня – это не просто формулы и вычисления, а способ мышления и способ общения: логичный, лаконичный, доказательный. И вообще, математика – это полет мысли, полет фантазии. С годами, с опытом работы моя деятельность все больше наполняется другим содержанием, но по-прежнему приходить в класс на урок – это большая радость для меня. И за это – спасибо вам, мои ученики!
Звенит звонок, окончен рабочий день, а завтра снова урок. Сколько будет еще этих звонков и уроков в моей судьбе? Знаю лишь одно, что мое призвание – школа, ученики, которым я отдаю свою любовь к математике и радость общения!
Цель: теоретическое и практическое обоснование необходимости реализации метода математического моделирования для развития ключевых компетенций.
Задачи:
- Создать условия для обучения методу математического моделирования средствами курса математики;
- определить роль и место математического моделирования – как общего способа учебной деятельности;
- систематизировать виды моделей;
- разработать и апробировать систему заданий, формирующих практическое обучение построению математических моделей и работе с ними.
1. Актуальность и перспективность опыта
В современном обществе быстрыми темпами растёт поток информации. Знания, которые ученики получают на уроках бывают недостаточны для общего развития. Отсюда возникает необходимость в непрерывном самообразовании, самостоятельном добывании знаний. Это заказ общества к подготовки его граждан в современных условиях жизни. Школа должна формировать опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся, т.е. ключевые компетентности. Цель компетентностей – помочь ребёнку адаптироваться в социальном мире.
Изменились общие цели школьного математического образования. Одной из главных целей стало формирование представлений о сущности математики как науки и её главном методе – математическом моделировании.
На формирование опыта работы оказали влияние следующие факторы:
- изучение методической литературы;
- курсовая подготовка;
- инновационная деятельность;
- изучение опыта коллег.
Текущий интерес к теме моделирования объясняется тем значением, которое метод моделирования получил в современной науки, и в особенности в физики, химии, биологии, кибернетики, не горя уже о многих технических науках. Однако моделирование как средство и форма научного познания не является изобретением XIX или XX века. Достаточно указать на представление Демокрита об атомах. Эти представления являются прообразом современных моделей.
В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Методологическая основа моделирования заключается в следующем. Всё то, на что направлена человеческая деятельность, называется объектом.
В научных исследованиях большую роль играют гипотезы, т.е. предположения. Быстрая и полная проверка гипотез проводится в ходе специально поставленного эксперимента. Гипотезы, отражающие реальный, объективно существующий мир, должны обладать наглядностью или сводиться к удобным для исследования логическим схемам. Такие логические схемы, упрощающие рассуждения называют моделями. Другими словами модель – объект заместитель объекта – оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала. Моделированием называется замещение одного объекта другим с целью получения информации об этом объекте путём проведения экспериментов с его моделью.
2. Педагогическая идея
Ведущая педагогическая идея – это применение математического моделирования для формирования ключевых компетентностей. Внедрение в процесс обучения на ранних стадиях математического моделирования эффективно развивает ключевые компетентности у учащихся. С этой целью необходимо включение ученика в деятельность на основе учёта его субъективного опыта, создание условий для свободного выбора учащимися форм организации обучения. Использование моделирования в обучении активизирует мыслительную деятельность, позволяет ученику лучше ориентироваться в природе и обществе. Всё это способствует развитию ключевых компетентностей личности.
Процесс обучения при данном подходе становится максимально приближенным к познавательным потребностям учеников, их индивидуальным особенностям, способствует самореализации личности.
3. Теоретическая база опыта
Теоретическая база опыта основывается на положениях учёных-математиков, психологов, методистов-исследователей.
А.В.Хуторской писал «Образовательные компетенции – совокупность взаимосвязных смысловых ориентаций, знаний, умений, навыков и опыта деятельности ученика по отношению к определённому кругу объектов реальной действительности, необходимых для осуществления личностно и социально значимой продуктивной деятельности».
Исследователи Г.Вейль, Г.Кеплерс указали следующие аспекты использования моделирования:
- как средство познания и технического расчёта объекта;
- как мощного аппарата исследования явлений природы;
- как инструмента решения научно-технических задач;
- как метод научного исследования.
4. Технология опыта
Как помочь ребёнку стать компетентным? Этого можно добиться при использовании новых технологий, где учитель выступает как партнёр. Наиболее удачными, на мой взгляд, являются интерактивные технологии – это технологии, основанные на принципах интерактивного обучения (включая интерактивные методы, формы, позиция учителя – консультант).
Я применяю следующие интерактивные формы организации учебного процесса: урок-практикум, урок-диалог, где развивающее содержание «вкладываю» в
а) фронтальную работу в кругу;
б) статичные пары (пары постоянного состава);
в) пары сменного состава (пары, находящиеся в движении);
г) статичные группы (группы постоянного состава);
д) мигрирующие группы (группы, находящиеся в движении).
При такой организации обучения за более короткий срок развивается речь, умения ориентироваться в окружающей обстановке, инициативность. Опираюсь на опыт учащихся через систему заданий, создание моделей, анализ моделей, диалог, наблюдение, создание и решение проблемы.
Применяю уровневую дифференциацию. Выбор того или иного уровня определяю на основе реализации принципа минимакса самими учащимися в соответствии с их собственными интересами и возможностями.
Большое внимание я уделяю формированию общего подхода к решению задач. Теоретической основой являются следующие этапы математического моделирования:
- этап I – перевод задачи на математический язык (построение математической модели);
- этап II – внутримодельное решение;
- этап III – перевод полученных на этапе II результатов на язык задачи.
При таком подходе текстовая задача рассматривается как словесная модель некоторого процесса (явления, ситуации). Чтобы решить такую задачу, надо перевести ее на язык математических действий, т.е. построить математическую модель. Для текстовой задачи математической моделью является выражение (либо запись по действиям), если задача решается арифметическим методом, и уравнение (либо система уравнений), если задача решается алгебраическим методом. На втором этапе находят значение выражения, либо выполняют действия, либо решают уравнение. На третьем – полученные результаты интерпретируют применимо к данной задаче.
Задача: В одном вагоне поезда пассажиров было в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого вагона вышли 3 человека, а во второй вошли 7 человек, то в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом вагоне?»
Этап 1. Обозначим через x первоначальное число пассажиров во втором вагоне. Тогда в первом вагоне было 2-х пассажиров. После того как из первого вагона вышли 3 человека, а во второй вошли 7 человек, в обоих вагонах пассажиров стало поровну.
Получаем уравнение 2х - 3 = х + 7. Это математическая модель задачи.
Этап II. Решаем уравнение 2х - 3 = х + 7 и получаем х = 10.
Этап III. Если во втором вагоне было 10 человек, то в первом — 20, так как 10 • 2 = 20. Кроме того, нетрудно убедиться в том, что полученные числа удовлетворяют условию задачи: если из первого вагона вышли 3 человека, то в нем осталось 17 человек (20 - 3 = 17), а во втором, после того как в него вошли 7 человек, тоже оказалось 17 пассажиров (10 + 7 = 17).
Наибольшую сложность в процессе решения текстовой задачи представляет перевод текста задачи с естественного языка на математический. Для облегчения этой процедуры строят вспомогательные модели задачи — схемы, таблицы и др. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от словесной модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной (схема, таблица, рисунок и т.д.), а от неё математической, на которой и происходит решение задачи.
Рассмотренный подход разделяют и психологи. Они считают, что:
а) процесс решения задачи есть сложный процесс поиска системы моделей и определённой последовательности переходов от одного уровня моделирования к другому, более обобщённому;
б) решение задачи есть процесс её переформулировки. При этом основная форма мышления, осуществляющая эту переформулировку, - это анализ через синтез, когда объект в процессе мышления включается в новые связи и в силу этого выступает в новых качествах. Главным средством переформулировки является моделирование. Такое понимание процесса решения текстовой задачи позволяет усилить развивающую функцию обучения математике. Этот подход к решению текстовой задачи реализован в учебниках автора Мордкович А.Г.
Важным средством обучения элементом моделирования являются сюжетные задачи. Сюжетной задачей называют задачу, описывающую реальную или приближенную к реальной ситуацию на неформально-математическом языке. С этой точки зрения любая задача, возникающая на практике, является сюжетной, однако часто она может не содержать достаточных для решения числовых данных. Такие задачи называют задачами-проблемами. Для построения их математической модели нужно найти достаточное количество числовых данных. Школьные учебники почти не содержат задач проблем. Учащимся, как правило, сразу предъявляется словесная модель задачи, поэтому представления о характере отражения математикой явлений, описываемых в сюжетных задачах, часто оказывается весьма примитивным. Это происходит вследствие того, что этап формализации при решении школьных сюжетных задач оказывается представлен слишком узко, т.к. нет условий для содержательного раскрытия и конкретизации этапов формализации и интерпретации математического моделирования. В частности, эта проблема может быть реализована на пути решения так называемых прикладных задач. Для подготовки к обучению в профильных классах уже в 5-6 целесообразно использовать прикладные и учебно-прикладные задачи, которые позволяют учить школьников следующим действиям, характерным для этапов формализации и интерпретации:
- замене исходных терминов выбранными математическими эквивалентами;
- оценке полноты исходной информации и введению при необходимости недостающих числовых данных;
- выбору точности числовых значений, соответствующей смыслу задачи;
- оценке возможности получения числовых данных для решения задачи на практике.
Выполнение действия замены исходных терминов выбранными математическими эквивалентами основывается, прежде всего, на жизненном опыте учащихся, т.е. знании терминов, встречающихся в быту или при изучении других предметов, которые могут быть заменены математическими понятиями и отношениями. Из этого следует, что в системе задач школьных учебников должно быть больше задач, содержащих термины из различных научных областей, но не требующих длительного и громоздкого объяснения их сущности. Кроме этого, задачи расширяют словарный запас учащихся, знакомят с новыми интересными фактами из разных наук. Пример: число депутатов от первой партии на 20% больше, чем от второй, а число депутатов от второй партии составляет 62,5% числа депутатов третьей. Может ли какая-либо партия заблокировать принятие решения, для которого требуется квалифицированное большинство голосов (не менее 2/3) всех депутатов?
При решении логических и нестандартных задач развиваются ключевые компетенции. Нестандартные задачи дают возможность активизировать познавательную деятельность учащихся, т.к. в их решении присутствует крупица открытия. От эффективности использования таких задач зависит не только качество обучения, развития, но и степень практической подготовленности школьников к будущей деятельности. Необходимо учить решать такие задачи, вооружить их «инструментом», с помощью которого они с задачей справятся.
Приём решения логической задачи:
- изучение содержания задачи, уточнение уровня математических знаний, необходимого для её разрешения (содержательный компонент);
- выдвижение гипотезы поиска решения;
- выбор способа представления логических рассуждений: табличный, текстовый, на кругах Эйлера, перебором и т.д.;
- проверка выдвинутых гипотез поиска решения;
- выбор наиболее оригинального способа решения (творческий компонент);
- обсуждение результатов;
- соотнесение задачи с личным опытом (рефлексивный компонент);
- разработка и решение аналогичных задач, задач творческого характера (творческий компонент);
- обсуждение дополнительных вопросов к задаче.
Например, восстановите таблицу итогов шахматного турнира:
|
Андрей |
Борис |
Виктор |
Глеб |
Очки |
Место |
Андрей |
|
|
|
1/2 |
|
1 |
Борис |
|
|
|
|
|
2 |
Виктор |
|
|
|
|
|
3 |
Глеб |
|
|
|
|
|
4 |
I.
1) предлагаю учащимся текст задачи;
2) анализ ситуации, осознание проблемы. На данном этапе учащиеся самостоятельно вычисляют условия задачи, её заключение, проводят рассуждения по поиску решения;
3) на этой стадии осуществляю работу над решением проблемы.
II. Работа групп учащихся.
Ученики, работая в группах, разрабатывают пути решения данной задачи.
III. Рождение идеи.
Возникновение идеи решения.
Обсуждение разработанных каждой группой вариантов решений, и выбирается более рациональный способ решения.
IV. Техническая стадия решения.
V. Оформление решения задачи.
VI. Элемент творчества.
После решения данной задачи учащимся предлагаю самим составить текст аналогичных задач с другими данными.
Для ориентации в практически необозримом море математических моделей необходима их классификация. Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.
Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Вещественные (или) предметные модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов, они могут быть представлены разного рода инсценировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.
Графические модели используются, как привило, для обобщённого, схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим следует отнести следующие виды моделей:
- рисунок;
- условный рисунок;
- чертёж;
- схематический чертёж (или просто схема).
Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном языке, так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполненном на естественном языке, можно отнести:
- краткую запись задачи;
- таблицы.
Таблица как вид знаковой модели используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями.
Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математическом языке, являются:
- выражение;
- уравнение;
- система уравнений;
- запись решения задачи по действиям.
Схематические, графические и знаковые модели, выполненные на естественном языке – вспомогательные модели, а знаковые модели, выполненные на математическом языке – решающие.
Уровень овладения моделированием определяет успех решающего. Поэтому обучение моделированию занимает особое и главное место в формировании умения решать задачи.
Полезно применять чертежи и схематические рисунки, блок-схемы, моделирование с помощью отрезков и таблиц.
Итак, модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития; научиться управлять объектом или процессом, определять наилучшие способы управления при заданных целях и критериях.