В связи с введением в систему образования единого государственного экзамена (ЕГЭ) проблема подготовки к нему волнует не только обучающихся и их родителей, но и педагогов. Учителю нужно грамотно организовать системное повторение изученного материала и более глубокого усвоения отдельных тем, вызывающих особые трудности при решении заданий повышенного и высокого уровня сложности (это задания 13 и далее). Поэтому на протяжении многих лет в программу элективного курса включаю нестандартные методы решения тех или иных заданий.
Остановлюсь на методе рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств (задание №15 из ЕГЭ). Это один из наиболее эффективных и доступных методов, который применим к широкому классу задач и позволяет достаточно просто рационализировать многие иррациональные неравенства, неравенства с модулем, показательные и логарифмические неравенства с постоянным и переменным основанием, а также сложные комбинированные неравенства и их системы.
Решение таких неравенств алгебраическими методами чаще всего вызывает у обучающихся трудности вычислительного характера. Универсальный метод решения неравенств- это метод интервалов. Для расширения возможности применения метода интервалов можно использовать метод рационализации, известный в математике как метод декомпозиции (Моденов В.П.) или метод замены множителей (Голубев В.И.). Этот метод пока не нашёл отражения в школьных учебниках и школьной практике.
Суть этого метода заключается в том, что сложное выражение заменяем на более простое выражение (рациональное), при котором первоначальное неравенство равносильно получившемуся на ОДЗ.
Поэтому в школьной практике при решении сложных неравенств эффективнее всего применять данный метод, т.к. он позволяет избежать двух традиционных ситуаций, где при помощи анализа второй требуется дублировать выкладки из первой (например, выполнить преобразования, затем найти корни вспомогательных уравнений, определить промежутки монотонности).
Приведу примеры применения метода рационализации на конкретных примерах.
Для показательных неравенств
Если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида аf(х) - аg(х) можно заменить на произведение скобок (а-1)( f(x) – g(x)).
Например: Решить неравенство (3x – 1)(0,25x – 16) (5х2 -9х – 2) ≤ 0.
Данное неравенство равносильно неравенству (3x – 30)(0,25x –0,25–2) (5х2 -9х – 2) ≤ 0, которое в свою очередь по методу рационализации можно представить в виде
(3 – 1)(х – 0) (0,25 -1) (х – (-2))(5х + 1)(х – 2) ≤ 0. Далее применяем метод интервалов.
Для логарифмических неравенств:
Так как у логарифмов уже появляются ограничения на ОДЗ, то данный метод работает только при выполнении условий ОДЗ для логарифмов!
Следовательно, последовательность решения подобных неравенств такая:
- Находим ОДЗ;
- Решаем неравенство, считая, что ОДЗ выполнено;
- Пересекаем полученный ответ с ОДЗ и получаем итоговый ответ.
Суть метода рационализации:
1) если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то неравенство вида
(loga f(x) – logag(x)) можно заменить на произведение двух скобок (а-1) (f(x) – g(x)) при условии выполнения ОДЗ.
2) если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида loga f(x) можно заменить на произведение двух скобок (а-1) (f(x) – 1) при условии выполнения ОДЗ.
Например:
Таким образом, метод рационализации позволяет избежать нежелательных сложностей, ошибок, ускорить процесс решения неравенств, а это способствует наиболее эффективной и качественной подготовке к сдаче единого государственного экзамена.
Литература
1. Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. М.: 2007. — 252 с. Гл. 13.
2. ЕГЭ 2020. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов. / Под ред. И.В.Ященко. – М.:Национальное образование, 2020. – 272с. (ЕГЭ. ФИПИ – школе).
3. Коропец З.Л. Математика. Варианты сложных задач единого государственного экзамена (ЕГЭ) и образцы решений: учебно-методическое пособие. / З.Л.Коропец, А.А.Коропец, Т.А.Алексеева. – 2-е изд. доп. – Орел: ОрелГТУ, 2008. – 28с.
4. З.Л.Коропец, А.А.Коропец, Т.А.Алексеева МАТЕМАТИКА. НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ. - Орел: ОрелГТУ, 2012.
5. Моденов В.П. Метод декомпозиции при решении трансцендентных уравнений и неравенств // Математика в школе. – 2001. – №5.
6. Соловьёва О.А. Применение метода рационализации при решении нестандартных неравенств.// Молодой учёный. - 2017. - №15.-с.636-640. - URL https://moluch.ru/archive/149/423