Предисловие
В последние годы в тестах ЕГЭ и ГИА по математике, и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения широкое распространение получили задачи, содержащие параметры. Решение задач с параметрами носит учебно-исследовательский характер, они играют важную роль в формировании логического мышления, развитии творческих способностей учащихся, в формировании научно-исследовательских умений. Поэтому решение задач с параметрами и в частности решение квадратных уравнений с параметрами является пропедевтикой научно-исследовательской работы учащихся. На ЕГЭ по математике (часто задания части С), ГИА (задания части 2) и на вступительных экзаменах встречаются, в основном, два типа задач с параметрами. Первый: «Для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «Найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения или неравенства выполняются некоторые условия». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В ответе к задаче первого типа перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответе к задаче второго типа указываются все значения параметра, при которых выполняются условия, указанные в задаче.
Как известно, решению задач с параметрами в школе уделяется очень мало внимания. Поэтому решение задач с параметрами всегда вызывает большие трудности у учащихся; трудно рассчитывать на то, что учащиеся, подготовка которых не содержала «параметрическую терапию», смогут в жесткой атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с подобными задачами, следовательно, учащиеся должны специально готовиться к «встрече с параметрами». Многие учащиеся воспринимают параметр как «обычное» число. Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать постоянной величиной, но это постоянная величина принимает неизвестные значения. Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой постоянной величины. В других задачах бывает удобно искусственно объявить параметром одну из неизвестных.
Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью – с помощью задач с параметрами можно проверить знание основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки научно-исследовательской деятельности, а главное, перспективные возможности успешного овладения курсом математики данного вуза.
Анализ вариантов ЕГЭ по математике и вступительных экзаменов в различные вузы показывает, что большинство предлагаемых задач с параметрами связано с расположением корней квадратного трехчлена. Будучи основной в школьном курсе математики, квадратичная функция формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей – в основе их решения лежат свойства квадратичной функции. При решении таких задач рекомендуется работать с тремя типами моделей:
- вербальная модель – словесное описание задачи;
- геометрическая модель – эскиз графика квадратичной функции;
- аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.
Методическое пособие содержит теоремы о расположении корней квадратного трехчлена (необходимые и достаточные условия расположения корней квадратичной функции относительно заданных точек), применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами.
Приведены подробные решения 20 задач с методическими рекомендациями. Назначение данного пособия – помочь выпускнику и учителю математики в подготовке к сдаче ЕГЭ и ГИА по математике, и вступительного экзамена в вуз в виде теста или в традиционной форме.
Список рекомендуемой литературы
1.Вавилов, В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Алгебра/В.В.Вавилов, И.И.Мельников, С.Н.Олехник, П.И.Пасиченко// М.: «Наука», 1988. – 432 с.
2.Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства./ В.В.Вавилов, И.И.Мельников, С.Н.Олехник, П.И.Пасиченко// М.: «Наука», 1988. – 240 с.
3.Горштейн П.И., Полонский В.Б.,Якир М.С. Задачи с параметрами/П.И. Горштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир// М.:«Илекса», Харьков.:«Гимназия», 2002. – 336 с.
4.Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы./ Г.В.Дорофеев., М.К.Потапов., Н.Х.Розов//Москва. «Наука», 1976.
5.Жаржевский А.Я., Фельдман Я.С. Решение задач с параметрами/ А.Я. Жаржевский, Я.С. Фельдман// Санкт-Петербург. «Агентство ИГРЕК», 1996.
6.Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа 8-11. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики/ Л.И. Звавич , Л.Я. Шляпочник, М.В. Чинкина//«Дрофа», Москва, 2001.
7.Козко А.И., Чирский В.Г.. Задачи с параметрами и другие сложные задачи/ А.И. Козко, В.Г. Чирский// М.: МЦНОМО, 2007, - 296 стр.
8.Никольская И.Л. Факультативный курс по математике 7-9 классы/ И.Л. Никольская// Москва, «Просвещение»,1991. – 383с.
9.Прокофьев А.А. Задачи с параметрами/ А.А. Прокофьев// М.:МИЭТ,2004, - 258С.
10.Рязановский А.Р. 500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в вузы/ А.Р. Рязановский//Москва, «Дрофа», 2001. – 480 с.
11.Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы/ О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев// Москва, .«АСТ – Пресс. Школа» 2002.
12.Шабунин М.И. Математика для поступающих в ВУЗы/ М.И. Шабунин// Москва, .«Аквариум», 1997. – 272 с.
13.Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: решение задач. 10 класс/ И.Ф. Шарыгин// Москва. «Просвещение»,1989. – 252с.
14.Шарыгин И.Ф., Голубев В.И.. Факультативный курс по математике. 11 класс/ И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев// Москва. «Просвещение», 1991. – 384с.
15.Шарыгин И.Ф. Сборник задач по математике с решениями/ И.Ф. Шарыгин//Москва, «Астрель», 2001. – 400 с.