Геометрическая оптимизация в задачах. 8–9-е классы

Ход занятия

Этап 1. Изложение проблемной ситуации

Много ли человеку земли нужно? Этот вопрос задаёт читателю Лев Николаевич Толстой в своём рассказе. Обратимся к вопросу подробнее.

Задача 1. Однажды Пахом землю покупал. Перед ним большое поле. Цена за землю была необычная, а именно 1000 рублей за день: сколько за день (от восхода до заката) земли обойдёт Пахом, вернувшись туда, откуда вышел, столько и может взять. Пахом обрадовался, ведь за день можно много земли обойти! (к доске выходит один из учащихся и готовится изображать траекторию движения Пахома по полю)

На заре Пахом отправился шагать по полю, вёрст 10 прошёл по прямой. Решил Пахом, что пора «загибать» и, сделав прямой угол, дальше пошёл, прошёл несколько вёрст. Вдруг заметил Пахом, что солнце-то к полднику подходит, завернул снова на прямой угол. Прошёл версту, видит, что солнце-то за гору заходит, а впереди ещё вёрст 15. Там и не успеть можно, ведь пропадут за землю деньги-то. Бежит Пахом к месту отправления – задыхается, сердце молотком бьёт, портки от пота к телу липнут, во рту пересохло… Еле-еле добежал Пахом до места, откуда начинал свой путь на заре. Успел…

Этап 2. Побуждающий, подводящий к анализу проблемы и постановке цели занятия диалог

Вопрос учащимся: Какой четырёхугольник описал герой рассказа? (трапецию, чертёж изображен на рисунке)

Вопрос учащимся: Сколько земли отмерял Пахом? Сколько он верст прошёл? (учащиеся в парах вычисляют площадь и периметр трапеции, предлагают свои решения. Одновременно вычисления оформляются одним из учащихся на обратной стороне доски)

Записи на доске и в тетрадях

Вопрос учащимся: Оптимальный ли маршрут выбрал Пахом?

(Целеполагание: учащиеся предлагают различные маршруты, осознав, что периметр маршрута не должен превышать 38 вёрст, настраиваются на поиск нового математического способа расчёта оптимальной площади. Таким образом, происходит процесс постановки цели урока: необходимо найти такую геометрическую фигуру, которая бы при известном периметре имела наибольшую площадь).

Этап 3. Выход из проблемной ситуации, конкретизация задачи

Если вспомнить рассказ, то можно заметить, что первоначальным намереньем Пахома был маршрут по прямоугольнику.

(Одним из учеников на доске изображается прямоугольник. Класс предлагает рассмотреть прямоугольники с различными измерениями, периметром 38 см. Проводится фронтальная работа по вычислению площадей предлагаемых прямоугольников.)

Записи на доске и в тетрадях

Р=38 см, значит р=19 см.

Вывод (формулирует учащиеся): При периметре, равном 38 см, наибольшую площадь 90,25 см² будет иметь квадрат.

Возвращаясь к вопросу задачи, можно утверждать, что свой маршрут Пахом мог бы проложить по квадрату со стороной 9,5 вёрст, что позволило бы ему обойти площадь поля на 24,25 кв вёрст больше, чем он обошёл.

Этап 4. Обобщение полученных фактов

Результат задачи указывает на замечательное свойство квадрата.

Учащиеся формулируют свойство самостоятельно: квадрат имеет наибольшую площадь среди  всех прямоугольников того же периметра, что и сам квадрат.

Докажем это свойство в общем виде (к доске приглашается учащийся)

Записи на доске и в тетрадях

Пусть сторона квадрата равна  а, площадь квадрата S = a², периметр квадрата P = 4a Стороны прямоугольника с периметром 4а будут равны (a – b) и (a + b), тогда площадь прямоугольника равна (a – b) * (a + b) = a² – b², a² > a² – b², для любых значений сторон a и b.

Вывод (формулируют учащиеся): площадь квадрата всегда будет больше площади прямоугольника с тем же периметром.

Вопрос-следствие: если бы в задаче рассматривался не квадрат, а треугольник, то какой бы он имел вид?

(Учащиеся интуитивно предложат рассмотреть правильный треугольник. Учитель предлагает проверить выдвинутую гипотезу самостоятельно и подготовить доклад к следующему занятию.)

Этап 5. Создание и решение новых проблемных ситуаций

Задача 2. Необходимо выложить из 6 равных по длине палочек фигуру наибольшей площади. Задание выполняется в парах.

Учащиеся предлагают варианты (равносторонний треугольник, прямоугольник, шестиугольник). Далее вычисляются площади составленных фигур. (Формулы площадей правильного треугольника и правильного шестиугольника предлагается вывести, используя известные ранее свойства и теоремы)

Записи на доске и в тетрадях.

Равносторонний треугольник со стороной равной 2.

Прямоугольник с измерениями 1 и 2, S = 2.

Правильный  шестиугольник (состоит из шести равносторонних треугольников со стороной 1)

Вывод: наибольшую площадь при равном периметре будет иметь шестиугольник.

Задача 3 (устные рассуждения). Интересный факт, замеченный в природе: многие вирусы, такие, как ветрянка, краснуха имеют вид искосаэдра (внимание учащихся можно обратить к платоновым телам на слайде или стенде). Почему природа выбрала для них именно такую форму?

Ответ (формулируют учащиеся): Это выгодная для вирусов форма, так как икосаэдр имеет маленькую площадь поверхности и большой объём. Это помогает вирусу нести в себе много информации, имея достаточную вместительность и защищаться от внешних воздействий, благодаря маленькой площади поверхности.

Учащимся предлагается самостоятельно вычислить площадь поверхности правильного икосаэдра с ребром, равным  м. (Количество граней икосаэдра предлагается найти также самостоятельно, используя различные источники: справочники, Интернет)

Задача 4. Имеется лист картона квадратной формы со стороной а = 120 см. Необходимо сложить из него коробку без крышки наибольшей вместимости, вырезав по углам квадраты со стороной b, как показано на рисунке:

Этапы решения задачи

(на каждом этапе учащиеся являются активными участниками процесса, учитель только координирует их учебную деятельность)

1. Выражение объёма коробки через известные данные: V = (120 – b)(120 –2b)b.

2. Исследование формулы объёма, поиск ответа на вопрос: Какое значение должна принимать переменная b, чтобы получить максимальный объём? (рассматриваются различные частные способы, что приводит к необходимости поиска общего решения).

3. Использование следствия из умозаключений, полученных при решении задачи 1 (учащиеся выдвигают гипотезу о том, произведение трёх множителей будет наибольшим, если эти множители равны между собой, учитель указывает на то, что сумма этих множителей должна быть постоянной).
Как добиться того, чтобы выполнялось равенство?

(120 – 2b) + (120 –2b) + b = const

Решение проблемы ищут учащиеся (с возможными подсказками учителя). Предлагается  помножить обе части равенства на 4:

4V = (a – 2b)((a – 2b)4b.

Сложение полученных множителей:

(120 – 2b) + (120 –2b) + 4b = 240,

120 – 2b = 4b,

120 = 6b,

b = 20 см.

Таким образом, при вырезе b = 20 см, будет достигнут объём, равный 128000 см³ (самостоятельное вычисление по формуле).

Этап 6. Рефлексия

В завершение занятия учащимся предлагается выразить субъективное отношение к изученному материалу в форме синквейна:

1 строка – одно существительное, выражающее главный факт, термин, изученный на занятии;

2 строка – два прилагательных, выражающих характеристику этого факта, относительно решаемых задач;

3 строка – три глагола, описывающие действия в рамках темы занятия.

4 строка – продолжение фразы «я узнал, что …».

5 строка – заключение в форме существительного (ассоциация с первым словом).

Этап 7. Домашнее задание

Доказательство справедливости утверждения о наибольшем произведении трёх множителей (оно было использовано при решении задачи 4)

Список литературы

1. Перельман Я.И. Занимательная геометрия. – М., 1950. – 270 с.