Цели:
Обучающие:
- научиться решать текстовые задачи на движение;
- переводить условие задачи из реальных объектов на язык схем, чертежа, формул;
- научиться выделять и сопоставлять информацию, содержащуюся в условии задачи;
- свести изучение сложного к простому, т.е. сделать ее доступной для тщательного и всестороннего анализа.
Развивающие:
- развитие интереса к предмету;
- развитие умения из массы информации выбирать главное;
- развитие математической речи, творческого мышления, умения ставить перед собой вопросы, намечать пути их решения;
- развитие умений анализировать свою деятельность и деятельность других.
Воспитывающие:
- воспитывать культуру умственного труда;
- культуру коллективной работы;
- упорство в достижении цели.
Тип урока: урок решения задач.
Оборудование: компьютер, экран, проектор, презентация, карточки с текстами задач, книги В.Драгунский «Денискины рассказы» и «ЕГЭ 4000 задач».
Ход урока
Устная работа
У меня в руках книга В.Драгунского «Денискины рассказы». Для этого урока я немного сократила и изменила рассказ «Главные реки Америки».
Учитель: Дорогие ребята! Сегодняшний урок мне хочется начать с отрывка из этой замечательной книги.
«Хотя мне уже идет девятый год, я только вчера догадался, что уроки все-таки надо учить. Любишь, не любишь, хочешь, не хочешь, лень тебе или не лень, а учить уроки надо. Это ЗАКОН!
В школу мы всегда ходим вместе с моим другом Мишкой, который живет в моем доме.
Я утром немножко заспался. И как вскочил и глянул на часы, то сразу понял, что одеваться надо как на пожар. Я выглянул в окно и увидел, что Мишка выходит из дома. Я мигом оделся. Через 4 минуты после выхода Мишки я выскочил из дома и пустился вдогонку. У дверей школы я догнал Мишку…»
Включить 1 слайд презентации.
Вопросы учителя:
- Может ли этот отрывок иметь свое место в учебнике математики? В каком разделе? (раздел «Задачи на движение») (если вдруг не скажут, то можно обратить внимание на выделенные слова)
- Вы догадались, чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Решать задачи на движение)
- Какие виды задач на движение вы знаете? (Движение в противоположном направлении; Движение навстречу друг другу; Движение в одном направлении с отставанием; Движение в одном направлении вдогонку)
- Что общего в задачах любого вида? (там всегда что-то движется, S, V и t)
- А в чем различие? (направление движения объектов, место отправления значения величин и единицы их измерения.)
- Можно ли эту часть текста считать задачей? (нет, не хватает данных и вопроса)
- Итак, что мы имеем? (Дениска и Миша живут в одном доме. Миша вышел из дома и направился к школе. Через 4 минуты после него из дома вышел Дениска и догнал своего друга.)
- При каком условии Дениска догонит Мишу? (Если его скорость будет больше скорости Миши)
- Какими данными вы предложите дополнить текст? (обсудить возможную скорость: можно на доску вынести разные данные скорости и предложить выбрать только те, которые соответствуют реальному движению детей) - 50 км/ч, 60 м/мин, 80 м/мин, 10 м/мин?
Значение скорости записать в текст - Поставьте вопрос к условию…
Получить задачу: Дениска и Миша живут в одном доме. Миша вышел из дома и направился к школе. Через 4 минуты после него из дома вышел Дениска и догнал своего друга у школы. Найдите расстояние от дома до школы, если Миша шел со скоростью 60 м/мин, а скорость Дениски 80 м/мин.
Наша задача содержит достаточно много информации. Давайте отделим основную информацию от второстепенной (несущественной).
К «несущественной» информации можно отнести, например:
- Имена мальчиков. Зовут их Дениска и Мишка или еще как то (Винни Пух и Пяточок) - для успешного решения данной задачи значения не имеет;
- не имеет так же значения тот факт, что это были мальчики, а не девочки;
- несущественно так же и то, что они были друзьями, а не врагами, или вообще были незнакомы друг с другом;
- не имеет значения тот факт, что они шли в школу, а не на стадион или кинотеатр.
К значимой информации, видимо, следует отнести следующее:
- Скорости движения каждого из мальчиков;
- Время между началом движения первого и второго участника движения;
- То, что мальчики живут в одном доме и шли в школу одной и той же дорогой. Почему? (Они преодолели одинаковое расстояние!)
- Хотя этого в условии нет (а должно бы), это следует из текста условия задачи. - Перевести условие в графическое изображение:
Учитель: В задачах на движение обязательно делать рисунок. Чертеж помогает правильно представлять жизненную ситуацию, отраженную в задаче.
(Особенно, когда текст задачи большой и сразу в голове не укладывается. Чаще всего это нужно делать в задачах, где кто-то кого-то догоняет, встречается и т.д. Чертеж следует сделать таким образом, чтобы на нем была видна динамика движения – направления движения, встречи, развороты, повороты. Качественный чертеж позволяет понять задачу, не заглядывая в ее текст. Он – твоя основная подсказка для дальнейшего решения)
Учитель: - Как двигаются наши дети? (в одном направлении, вдогонку)
Учитель: В описании любого движения всегда фигурируют три ключевых величины. Это расстояние (путь), время, скорость.
Для успешного решения задач на движение нужно твёрдо держать в голове формулу, в которой связаны путь, время и скорость. В любой задаче дают кучу информации, но эту формулу – никогда! Это должно быть ваше знание, в голове! Без неё – никак!
S = V ∙ t
Зная эту формулу (для расстояния), вы можете легко вывести из неё формулу для скорости, или времени.
В нашем случае: V у мальчиков разная, t движения тоже разная, а S – пройденный путь одинаков!
Таким образом, в процессе решения нам необходимо следить именно за этими величинами.
Учитель: - Что значит, что скорость Миши 60 м/мин?
(Это значит, что за 1 минуту Миша проходит путь равный 60 метров.
- Аналогично, Дениска за 1 минуту пройдет путь равный 80 метров)
Учитель: - Сопоставляя эти два факта, подумайте насколько сократиться расстояние между мальчиками за 1 минуту? (За 1 минуту расстояние сокращается на 20 метров)
Учитель: - 20 м за 1 минуту… Что мы с вами установили? (скорость сближения детей)
Учитель: - Что означает, что Миша вышел на 4 минуты раньше Дениски? (Это означает, что пока Дениска одевался, Миша прошел путь равный 60 ∙ 4 =240 (м))
Учитель: - Что означает, что Дениска догнал Мишу именно у дверей школы? (Это означает, что Дениске удалось ликвидировать расстояние в 240 м)
Учитель: - Причем, это произошло благодаря чему? (благодаря тому, что его скорость была больше на 20 (м/мин)
- Итак, Дениске надо ликвидировать отставание в 240 м (S=240м), а за 1 минуту это расстояние сокращается на 20 м (v=20 м/мин). Сколько времени для этого потребуется?
240 : 20 = 12 (мин)
- то есть за 12 минут Дениска пройдет путь от дома до школы.
Чему равен этот путь?
12 ∙ 80 = 960 м
Учитель: Мы получили ответ на вопрос задачи. Однако решение задачи не может считаться законченным до тех пор, пока мы не предъявили цепочку обоснованных рассуждений, приводящих к верному ответу, т.е. не записали решение.
- 80 – 60 = 20 (м/мин) – скорость сближения
- 60 ∙ 4 = 240 (м) – расстояние между детьми
- 240 : 20 = 12 (мин) – время встречи
- 80 ∙ 12 = 960 (м) – расстояние от школы до дома
Ответ: 960 м
Учитель: Мы получили ответ. Проверьте его на правдоподобность!
960 : 60 = 16 (мин) – шел Миша
960 : 80 = 12 (мин) – шел Денис
А это на 4 мин меньше.
Учитель: - А что произойдет, если скорость Дениски будет не 80, а 90 м/мин?
Чему тогда будет равно расстояние от дома до школы?
Прежде, чем решать, сможете ли вы предположить, больше оно станет или меньше?
240 : (90-60) = 8 (мин)
8 ∙ 90 = 720 метров
Учитель: - А если Миша пойдет быстрее, например его скорость будет 80 м/мин, расстояние по прежнему 960 м, то какова должна быть скорость Дениски при 4-минутном отставании?
960 : 80 = 12 мин – Миша
12 – 4 = 8 – время Дениски
960 : 8 =120 м/мин
Учитель: - Поскольку мы понимаем, что для решения любых задач требуется выполнение определенного порядка действий, определенных правил. Все как в жизни! Если мы с вами знаем правила движения пешеходов при наличии светофоров, то выполняя это правило, вы сможете перейти дорогу не только в нашем городе, т.е. вы получите результат. Так и на уроке.
Совместно с детьми составить и записать алгоритм.
Алгоритм решения задач на движение
- Читаем и анализируем текст задачи;
- Определить характер движения;
- Сделать рисунок (таблицу);
- Установить отношения между данными и вопросом;
- Составить план решения задачи;
- Осуществление плана решения;
- Проверка и оценка решения задачи.
Самостоятельное решение задач с проверкой на доске.
Учитель: - Решите задачу, используя наш алгоритм.
Задача №1: Арамис и Атос выехали в 9 ч утра навстречу друг другу из Парижа и Руана, расстояние между которыми 168 км. Арамис скакал со скоростью 26 км/ч, а Атос - со скоростью на 4 км/ч большей. В котором часу они встретились?
Решение:
1). 26 + 4 = 30 (км/ч) – v Атоса
2) 26 + 30 = 56 (км/ч) – скорость сближения
3) 168 : 56 = 3 ( ч.) – время сближения
4) 9 + 3 = 12 ч
Ответ: 12 ч
Задача №2: Четыре мушкетера отправились из Парижа в Лондон за подвесками королевы со скоростью 700 м/мин. Через 10 минут вдогонку за мушкетерами поскакали гвардейцы королевы со скоростью 800 м/мин. На каком расстоянии от Парижа произошла стычка между мушкетерами и гвардейцами?
Решение:
1). 700 ∙ 10 = 7000 (м) – проехали мушкетеры
2). 800 – 700 = 100 (м/мин) - vсбл.
3) 7000 : 100 = 70 (мин) – догоняли гвардейцы
4).800 ∙ 70 = 56 000 (м) = 56 км
Ответ: 56 км
Задача №3: Расстояние от Парижа до замка кардинала Ришелье 220 км. Графиня Винтер выехала из Парижа в замок кардинала со скоростью 24 км/ч. Через 2 часа мушкетеры бросились в погоню за миледи со скоростью 36 км/ч. Успела ли миледи укрыться в замке?
- 24 ∙ 2 = 48 (км) – проехала графиня
- 36 – 24 = 12 (км/ч) – скорость сбл
- 48 : 12= 4 (часа) – время встречи?
- 24 ∙ 4 =96 км – проедет еще за это время графиня
Ответ: не успеет, т.к. ей необходимо проехать 172 км.
Задача №4: «Ну, погоди!» - зарычал волк, заметив в 30 м Зайца, и бросился за ним, когда тому оставалось бежать до укрытия 250 м. Догонит ли Волк Зайца, если он пробегает за минуту 600 м, а Заяц – 550 м?
Решение:
1). 600 – 550 = 50 (м/мин) - скорость сближения
2). 30 : 50 = 3/5 (мин) – время встречи
3) 3/5 ∙ 550 = 330 (м) может убежать заяц за это время
Ответ: успеет.
Учитель: - Мы решили с вами абсолютно различные по сюжету задачи. Но при этом мы везде использовали нашу замечательную формулу S = V ∙ t
- Обратимся теперь к другой книге (решение задач ЕГЭ) и посмотрим, как наши знания помогут нам!
Задача №5: Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 1000 м/мин, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Обсуждение:
- Не кажется ли вам странным, что в задаче на движение мы ищем длину (а не скорость, время или расстояние?)
- Как вы думаете, с какой величиной связана длина? (конечно, с расстоянием)
Учитель: Представьте, что мы все вместе едем на экскурсию из … в …. (расстояние 200 км). Я еду в 1-м вагоне. Какой путь я проделаю?
А Рома в последнем вагоне. Очевидно, что и он проедет 200 км.
Таким образом, в каком бы вагоне мы не ехали, мы будем двигаться одинаково! и поэтому мы можем выбрать любую точку, например кабину машиниста. И какой путь пройдет эта точка?
- Что значит «поезд прошел мимо столба?»
Учитель: Давайте покажем это движение…
Можно попросить помощи у детей. Пригласить к доске 4 человека. 1 человек будет изображать столб. 3 человека – движущийся поезд.
Учитель: Будьте внимательны: как только наш поезд пройдет мимо столба, вы должны громко хлопнуть в ладоши, а поезд – остановиться.
- Давайте посмотрим какой же путь пройдет поезд.
ВКЛЮЧИТЬ 2 СЛАЙД! для демонстрации движения поезда.
Очевидно, что пройденный путь равен длине поезда!
Решение: S= v∙t,
по условию задачи v = 1000 м/мин
t = 30 сек = 0,5 мин (Следим за единицами измерения!)
S= v∙t = 1000 ∙ 0,5 = 500 м
Ответ: 500 м.
Задача №6: Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 54 км/ч, проезжает мимо идущего параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу ему пешехода за 1 минуту. Найдите длину поезда.
Обсуждение задачи:
- Перед нами вновь задача на ….(движение)
- В чем отличие данной задачи от предыдущей? (столб «ожил»)
- Как двигаются наши объекты? (Пусть показывают руками навстречу друг другу!)
ВКЛЮЧИТЬ 3 СЛАЙД! для демонстрации движения поезда.
Учитель: - Мы умеем решать задачи на встречное движение?
Решение:
Vсбл. = 54 + 6 = 60 (км/ч)
t = 1 мин = 1/60 часа
S= v∙t = 60 ∙ 1/60 = 1 (км) или 1000 м
Рефлексия
- Можно ли считать, что мы сделали очередной шаг в подготовке к экзамену?
- А в обычной жизни для чего нам нужно научиться решать задачи на движение? (Не опаздывать, спланировать время путешествия, рассчитать скорость движения, избежать аварий и т.д.)
Литература
- Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. «Математика» 5 класс (в 2-х частях). ООО «БИНОМ. Лаборатория знаний».
- Лукичева Е.Ю. «ФГОС: Обновление содержания и технологий обучения (математика)».