Введение
«Решение задач – практическое искусство, подобное
плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;
научиться ему можно, только подражая хорошим
образцам и постоянно практикуясь.»
Д.Пойя
Увлекаясь математикой, мы часто размышляем над какой-либо особенно понравившейся нам задачей. Источниками самых интересных задач служат различные олимпиады – школьные, городские, районные, областные, дистанционные, международные. Когда мы готовимся к олимпиадам, мы рассматриваем великое множество заданий различных видов и уровня сложности. Для себя мы обычно выделяем группу задач, подход к решению которых нам кажется интересным и наиболее оригинальным. Для нас это задачи на разрезание. Именно такие задачи развивают логику, что является неотъемлемой частью учебного процесса. Изучение логики способствует пониманию красоты и изящества рассуждений, умению рассуждать, творческому развитию личности, эстетическому воспитанию человека. Каждый культурный человек должен быть знаком с логическими задачами, головоломками, играми, известными уже несколько столетий или даже тысячелетий во многих странах мира [1]. У нас возникали вопросы:
- в чём заключается особенность логических задач?
- существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на разрезание?
А также нам нравится «играть» с такими задачами. Особенно нам нравится создавать новые фигуры из разрезанных частей. Это могут быть как фигуры геометрические, так и различные фигуры, напоминающие нам какого-то животного, предмет или что-то особенное. Составлять что-то новое из разрезанных частей исходной геометрической фигуры довольно интересно, весело и развивает наше мышление. А вот задачи на разрезание, требующие составить какую-то новую геометрическую существующую фигуру, сложнее, но еще сложнее сравнить площади таких фигур. Так как в этом случае нужно методом долгих вычислений узнавать площадь и исходной фигуры и новой построенной фигуры. Что далеко не всегда получается или возникает вопрос «Почему?».
Оказывается, что задачами на разрезания занимались ещё в древности многие великие учёные и многие задачи дошли до наших дней. Нам кажется, что задачи на разрезание формируют самое первое геометрическое представление школьников.
В своем исследовании мы будем решать задачи на разрезание, используя именно первоначальную фигуру квадрат, а уже из частей квадрата составлять другие фигуры. Это будут как фигуры геометрические для сравнения площадей, так и игровые моменты составления фигур.
Актуальность работы:
- Задачи на разрезание получают стандартные методы решения, переходя из разряда творческих в разряд технических задач, то есть требуют применения известных методов для своего решения.
- Задачи на разрезание помогают не только раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале, но и развивают логическое, нестандартное мышление школьников. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.
Объект исследования: задачи на разрезание.
Предмет исследования: многообразие задач на разрезание, методы и приёмы их решения.
Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, поиск и анализ информации.
Цель исследования: расширить знания о многообразии задач на разрезание.
Чтобы достичь нашей цели мы должны решить ряд необходимых задач.
Задачи:
- изучить необходимую литературу, интернет-ресурсы;
- научиться разрезать геометрические фигуры на части, необходимые для составления той или иной другой геометрической фигуры;
- научится использовать в решении задач на разрезание свойства и признаки геометрических фигур;
- научиться доказывать, что площади фигур равны, разрезая их на определенные части и доказывая, что эти фигуры равносоставленные;
- научиться доказывать, что площади фигур не всегда могут быть равны, даже если состоят из равных фигур;
- исследование чисел Фибоначчи;
- провести геометрическое исследование, конструирование в решении задач различных типов.
- отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию;
- найти различные методы и приёмы решения задач на разрезание;
- классифицировать исследуемые задачи;
- создать электронную презентацию работы.
Гипотеза: во всем многообразии задач на разрезание отсутствуют, как известно, общие правила и методы их решения. У школьников это вызывает затруднения при их решении. Предположим, что при более внимательном исследовании задач на разрезание, мы убедимся в их необходимости, оригинальности и полезности.
При решении задач на разрезание нам не нужно будет изучать основы планиметрии, а будут нужны именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем с начальной школы.
Историческая справка
Поиском решения задач на разрезание ученые начали еще с древнейших времен. Возникли они из потребностей практиков-землемеров и строителей архитектурных сооружений древнего мира. Первые попытки к решению были разработаны в Древней Греции и Китае. Так, в древнем Китае зародилась головоломка «Танграм», а в Греции – головоломка «Пентамино», где используется метод комбинаторной геометрии. Но обобщить подход к решению задач на разрезание смог только арабский математик и астроном Абул Вефа, который жил в X веке. Он разработал множество приемов решения геометрических задач, которые связанны с разложением фигур на части. И только в конце XX века ученые вновь занялись изучением, а также поиском новых путей решения задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них новых фигур. Известные специалисты в этой области – Генри Эрнест Дьюдени и Гарри Ландгрен. В своей книге «Занимательные задачи на разрезание» Ландгрен приводит пример, как составить новую фигуру, при этом разрезав начальную на наименьшее число частей, а также дает возможность разработать свой подход к решению задач и найти новые способы их решения.
В 1832 году на основе полученных знаний о разрезании фигур, была разработана теорема Бояи-Гервина, в основу которой вошло положение о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Эта теорема позволила сократить и упростить ход решений и доказательств в задачах различного рода.
Задачи на разрезание вызывают постоянный интерес. Однако до сих пор остается не до конца исследованным вопрос о системе задач на разрезания и методах решения этих задач.[2]
Геометрические задачи в нашем исследовании будут связаны с одной самой простой на первой взгляд фигурой – квадратом. Главная заслуга квадрата – это использование его, как единицы площади удобной при вычислениях. Действительно, квадратами очень удобно замащивать плоские участки, а скажем, кругами такого не сделаешь без дыр и наложений.[3] Очень часто математики вместо слов «нахождение площади» говорят «квадрирование».
Наше исследование задач на разрезание квадратов мы начали с древнекитайской игры «Танграм». Танграм - это головоломка, которая представляет квадрат, который разрезали на 7 частей определенным образом. Из этих частей можно собрать животных, птиц, предметы или геометрические фигуры. Игра появилась в Китае, и по одной из легенд это просто было забавой для сына императора. Забавляясь такой игрой, учителя мальчика стремились воспитать его так, чтобы он постиг начала математики, смотрел на мир глазами художника и понимал бы то, что все сложные вещи состоят из простых частей, постигал бы все это как истинный философ. Первоначально три мудреца (математик, художник и философ) игру назвали «Ши-Чао-Тю», что означает «составленный из семи частей». Может это имеет связь и с 7 чудесами света? Впервые об этой игре стало известно более 4000 лет назад. Сохранились некоторые экземпляры игры 1802 года из слоновой кости в Америке. А первые изображения некоторых фигур появились в Китае в 1813 году в китайской книге.
Вторая часть нашего исследования состояла в разрешении задач на разрезание в сравнении площадей исходной фигуры и новой, составленной из частей прежней фигуры. Исследование подобных задач связано с последовательностью чисел Фибоначчи. Фибоначчи - это известный и выдающийся математик Европы позднего Средневековья. Он известен и как Леонардо из Пизы или Леонардо Пизанский.
Фибоначчи внес огромнейший вклад в основы математической науки, смог объединить множество разрозненных математических знаний Восточных культур и привел их к единой числовой системе, которая прослеживается во всех аспектах человеческой жизни. Фибоначчи связал основы своей теории со многими науками и искусствами, смог показать то, как правильно воспринять красоту числового мира. Фибоначчи – это тот, кто смог вывести математическую науку на новый уровень ее развития.
Задачи на разрезание представляют для многих некоторую головоломку, а для многих это развивает логическое мышление.
Глава 1
Игра «Танграм»
Игра «Танграм» - древнекитайская головоломка. Эта игра появилась около 4 тыс. лет назад и известна до сих пор и очень увлекательна. В переводе с китайского это переводиться как «умственная головоломка из семи частей». Обычно в такой игре используют клетчатую обычную бумагу, рисуют на ней квадрат и разбивают на семь частей, согласно правилам игры. Но пользуясь линейкой, никто не запрещает построить такой же квадрат на цветной бумаге и сделать соответствующие разбиения на семь частей. Впервые такую игру мы провели в ноябре 2018 года на неделе математике. Мы построили на листе в клетку квадрат, разбили его на семь соответствующих частей, и должны были составить из семи деталей любого животного насколько хватит нашего воображения. Варианты были различные: заяц, черепаха, белка, собака, кошка, кенгуру и многое другое.
Первое, что нас особенно заинтересовало в исследовании это то, можно ли из семи частей данного квадрата составить прямоугольник. Нельзя сказать, что было слишком просто, но животных составлять куда легче. Так как геометрические фигуры при составлении тела животного можно располагать так, как подсказывает твоя фантазия. А вот прямоугольник нужно уметь правильно составить, подобрать детали так, чтобы образовалоись четыре прямых угла и внутри все пространство прямоугольника должно быть заполненоь фигкрами. Получился прямоугольник следующего вида (рисунок). Пральнее всего начать использовать в это работе квадрат и тот, который больше. Квадрат удобно тспользовать потому, что у него уже есть прямые угла. А альше дело техники и всё зависит от дальнейшего расположения фигур.
Вторым нашим вопросом было равны ли площади первоначального квадрата и фигуры новой, составленной из разрезанных частей квадрата. Однозначно на этот вопрос ответить сложно. Но пользуясь следующей теоремой:
Если фигура состоит из двух (или более частей) частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
Сначала мы убедились в этом на обыкновенных квадратах. Поэтому мы взяли в рассмотрение квадрат из 16 клеток 4х4. Далее разделим квадрат на две части следующим образом (рисунок). Из двух частей составим прямоугольник как показано на рисунке (рис. + слайд)
Пусть 1 клетка имеет площадь 1 см2, тогда мы сможем найти площадь и всего квадрата, так как его длина и ширина по 4 см, или иначе можно посчитать все клетки квадрата:
S = 16 (см2).
Теперь найдем площадь построенного нами прямоугольника из двух частей квадрата. Имеем два способа нахождения площади.
1 способ. Сложить площади всех частей, из которых состоит прямоугольник:
S = 8 + 8 = 16 (см2).
2 способ. Посчитать, сколько клеток приходится на длину, сколько на ширину и вычислить привычным для нас способом.
S = 2*8 = 16 (см2)
Можно проверить наши вычисления и третьим способом:
3 способ. Посчитать все клетки, из которых состоит прямоугольник, а их как раз 16. Значит площадь равна 16 см2. Что и требовалось доказать. А, следовательно, наш пример подтверждает теорему.
Парадокс с площадью
Перейдем к следующей геометрической задаче. Очень часто её называют «геометрический парадокс». Рассмотрим квадрат со стороной 8 см. Разрежем данный квадрат на две части так же, как и в предыдущей задаче.
Исходя из рассуждений, задачи площади квадрата и прямоугольника равны:
S = 8 * 8 = 64 (см2) – площадь квадрата.
S = 16 * 4 = 64 (см2) – площадь прямоугольника.
Теперь снова рассмотрим исходный квадрат, но разрежем его на четыре части как показано на рисунке. Сложим из полученных четырех частей прямоугольник. Прямоугольник, сложенный из частей квадрата, имеет размеры 5 на 13 (рисунок). А теперь сравним площади полученных фигур. Так как эти две фигуры составлены из одинаковых кусков, то и площади этих фигур должны быть равны, что следует по теореме о том, что если фигура состоит из двух (или более частей) частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей. Сравним фигуры и их площади.
Так как эти две фигуры составлены из одинаковых кусков, то и площади этих фигур должны быть равны, что следует по теореме.
Sквадрата = 8 ∙ 8 = 64 (см2)
Sпрямоугольника = 13 ∙ 5 = 65 (см2)
В этом и заключается "парадокс" задачи. Кажется, что задача неразрешима. Возникает один вопрос: «Откуда появился лишний квадратный сантиметр в площади прямоугольника?» Трудно представить, что внезапно появилась так сказать «лишняя единица площади».
Первым в нашем исследованием в этой задаче стало то, что мы стали искать площади всех частей прямоугольника. Так как прямоугольник мы составили из двух прямоугольных треугольников и двух прямоугольных трапеций. При этом треугольники равны между собой, а трапеции являются так же равными.
Найдем площадь треугольника. А так как треугольник прямоугольный, то площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катета на гипотенузу:
Найдём площадь трапеции. Так как трапеция прямоугольная, то сторона, содержащая прямой угол с одним из оснований является высотой, а значит площадь трапеции равна половине произведения высоты на сумму основании трапеции:
Найдём площадь всей фигуры, составленной из четырех частей квадрата:
S = 2 Sтреуг. + 2 Sтрап.=24 + 40 = 64 (см2).
Но наш результат снова не сходится с площадью прямоугольника. При вычисления мы снова теряем 1 см2. Рассмотрим внимательно наш прямоугольник. После тщательных измерений с помощью линейки мы пришли к выводу, что точки, выделенные на рисунке зелёным цветом, не лежат на одной прямой. А это значит, что нам кажется, что эти точки лежат на диагонали прямоугольника. На самом же деле это вершины параллелограмма со сторонами 
см и 3 см. Площадь найденного параллелограмма как раз равна 1 см2.
Рассмотрим еще одно решение нахождения площади прямоугольника. Итак, квадрат разрезан на две трапеции и два прямоугольных треугольника.
Рассмотрим прямоугольный большой треугольник 1 и найдем значение тангенса его угла:
Теперь рассмотрим маленький треугольник 2 на рисунке 10 и найдем значение тангенса угла:
Значение тангенсов углов не совпадают. Это означает, что гипотенуза маленького синего прямоугольного треугольника и боковая сторона первой трапеции (внизу) не лежит на одной прямой, а являются звеньями ломаной. Аналогично доказывается, что гипотенуза маленького треугольника и боковая сторона второй трапеции (трапеция расположена вверху) не лежит на одной прямой. Следовательно, площадь прямоугольника равна сумме площадей фигуры, составленной из частей квадрата и черной так называемой «щели», которую сложно заметить при составлении частей квадрата.
Но на этом наше исследование не закончилось. Нас заинтересовал вопрос, почему именно квадрат с такими измерения, разбитый на 4 части, и прямоугольник с такими измерениями дают такой результат. Мы стали искать закономерность именно среди измерений квадрата и прямоугольника. Как известно сторона квадрата 8 см, а стороны прямоугольника равны соответственно 5 см и 13 см. Расставим эти числа в порядке возрастания для наглядности:
5, 8, 13.
А эти числа, как известно, являются членами ряда Фибоначчи. То есть длины сторон четырех частей, составляющих фигуры это некая последовательность. А расположенные части, на которые был разрезан квадрат, в виде прямоугольника показывают нам одно из свойств ряда Фибоначчи. Рассмотрим это свойство.
Согласно формулировке данного свойства следует, что если возвести в квадрат любой член ряда Фибоначчи, то получим произведение двух соседних членов ряда и плюс либо минус единица:
- 52 = (3 ∙ 8) + 1
- 82 = (5 ∙ 13) – 1
- 132 = (8 ∙ 21) + 1
Вернемся к нашим измерениям. Сторона квадрата равна 8 см, а площадь равна 64 см2. Восьмерка в ряду Фибоначчи расположена как раз между числами 5 и 13. А число 5 стало шириной прямоугольник и 13 стало его длиной соответственно. Отсюда получаем произведением чисел 5 и 13 равно 65, что дает прирост площади на одну единицу.
В ходе нашего исследования нам так же нужно было познакомимся с последовательностью чисел Фибоначчи. Узнать, по какому правилу составлена данная последовательность. А так же нам нужно выяснить, существуют ли еще квадраты с такими измерениями, которые впоследствии разбиения либо добавляют единицу к площади или же ее отнимают.
Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, …
В рассматриваемой последовательности первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1. Согласно правилу составления данного ряда, каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.
Попробуем, используя числа Фибоначчи построить квадрат, стороной которого будет являться любое число из последовательности Фибоначчи.
Возьмем число 21.Пусть 21 – это сторона квадрата. Так как число 21 расположено между числами 13 и 34, то эти числа должны является сторонами прямоугольника. Проверим это, используя выводы нашей рассмотренной задачи:
S = 212=441 (см2) – площадь квадрата
S = 13 * 34 =442 (см2) – площадь прямоугольника.
Снова получили прирост на 1 см2 к площади прямоугольника.
Так мы, решив задачу и рассмотрев произвольную новую задачу, мы пришли к выводу, что длины сторон в таких фигурах являются членами последовательности чисел Фибоначчи.
Существует великое множество таких квадратом и прямоугольников, длины сторон которых связаны числами последовательности Фибоначчи. Каждые три рядом стоящие числа последовательности дают нам пару квадрат – прямоугольник с разницей в площади ровно на 1 см2.
Решая подобные задачи, мы не только развиваем логику, но и стараемся применить все свои знания на практике.
Занимательные задачи
Представим вашему вниманию несколько задач разного уровня сложности, в которых не нужно применять никакие другие геометрические и алгебраические познания. Первую задачу рассмотрим несложную. Попробуем на практическом опыте убедиться в том, что ты уже умеем складывать новые фигуры из частей квадратов. Вторая задача будет представлять собой игру Пентамино – игра из 12 готовых деталей, каждая деталь определенной формы.
Задача 1. Перед вами два квадрата, один из которых уже разделен на четыре одинаковых треугольника. Как при помощи этих треугольников и маленького квадрата сложить один большой квадрат? Ничего больше разрезать не требуется.
Задача 2. Сложите из двенадцати фигур Пентамино прямоугольник 6 × 10, причем так, чтобы каждый элемент касался какой-нибудь стороны этого прямоугольника.
Вообще данная задача напоминает нам детскую игру тетрис. Увлекательно и полезно для детей начиная с 5-летнего возраста, что развивает логику и мышление.
Детали для игры – задачи должны быть подготовлены заранее. Удобнее всего это делать на клетчатой бумаге.
Заметим, что каждая часть содержит в себе пять одинаковых квадратиков. А теперь применяя логическое мышление, решаем задачу. Строить прямоугольник начнем с прямого угла.
Заключение
Те, кто любит головоломки и увлекается решением различных задач на разрезание, прежде всего, развивает логику своего мышления. Различные универсальные методы решения таких задач способствуют развитию геометрического мышления, даже с малого возраста, и каждый, кто берётся за решение таких задач, может в полной мере проявить свою интуицию, смекалку и развить в полном объеме способность к творческому мышлению. Так как в таких задачах не требуется глубокое знание геометрии, то учащиеся иногда могут даже превзойти профессионалов – математиков, своих учителей в поиске новых открытий.
Так же, задачи на разрезание не являются несерьёзными или бесполезными. Такие задачи наоборот не так уж и далеки от серьёзных математических задач. Из задач на разрезание родилась теорема Бояи - Гервина о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены (обратное очевидно). Так же мы применили последовательность чисел Фибоначчи. Ученик сам способен в таких задач показать себя, найти свое решение, индивидуальное, а не стандартное.
Рассмотренные нами задания имеют различный уровень трудности – от простых задач до олимпиадных. Самые простые задачи лучше начать решать на клетчатой бумаге. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.
Список используемой литературы и интернет-ресурсы
- М.А. Екимова, Г.П. Кукин «Задачи на разрезание» — М.: МЦНМО, 2002.— 120 с.: ил. Серия: «Секреты преподавания математики».
- Интернет – ресурс: https://scienceforum.ru/2018/article/2018000620
- https://infourok.ru/geometricheskie-zadachi-na-razrezanie-805621.html
- https://ru.wikipedia.org/wiki/Числа_Фибоначчи
- http://www.mathedu.ru/lib/books/lindgren_zanimatelnye_zadachi_na_razrezanie_1977/#7 - Линдгрен Г. Занимательные задачи на разрезание. — 1977
- http://gimn1567.ru/dost/fibonach/geometr.htm
- http://lovingmama.ru/article/1110-igra-tangram-istoriya-kitayskoy-golovolomki-pravila-shemy-polza-dlya-detskogo-razvitiya
- https://ucthat-v-skole.ru/podgotovka-k-shkole/356-tanq
- https://svikk.biz/chisla-fibonachchi/