Практически каждая тема курса математики 5-7 классов включает в себя задачи, которые очень близки к практическим, каждый день встречающимся «правильной», рациональной домохозяйке. Просто довольно часто мы этого не замечаем, а когда вдруг (и очень часто – совершенно случайно!) понимаем, что это та математика, которую мы изучали в школе, очень удивляемся. В этом материале хотелось собрать несколько подборок задач по таким, «домашним», темам и показать ученикам, что они могут быть реальными помощниками своих родителей в серьёзных жизненных вопросах. Вполне вероятно, что мамы таких ребят захотят поделиться с ними случаями или задачками из жизни, которые им тоже приходилось решать, возникнут споры, шутливые и серьёзные беседы о математике, о жизни, о математике в нашей жизни, да просто некоторые мамы найдут новую нишу для общения со своим ребёнком... Но это всё ближе к мечтам о хорошем. Перейдем к конкретным целям создания этого материала:
- повышение мотивации школьников, особенно «гуманитарного» склада ума;
- дидактический материал для работы математического кружка средней ступени;
- подготовка к олимпиадам учащихся средней ступени, проявляющих способности к математике;
- развитие у школьников представлений о целостной картине мира, о межпредметных связях.
Соответственно материал построен, как серия подборок задач по различным темам, иногда с комментариями и подсказками. Некоторые задачи снабжены решениями, некоторые – только ответами. Также имеется оглавление, в котором показано, как задачи разбиты по темам. Остаётся только пожелать любителям математики и «гуманитариям» не соскучиться, а открыть для себя что-то новое при знакомстве с этим материалом. Удачи и хороших решений!
«Задачи о ногах и головах»
Для учеников 7 класса тема «Решение задач с помощью систем уравнений с двумя переменными» обычно достаточно трудна. Однако подготовку к восприятию этой темы можно начать уже в 5-6 классах, порешав на досуге «Задачи о ногах и головах».
Начать можно с краткого пересказа (или чтения) фрагмента рассказа А.П.Чехова «Репетитор». В рассказе ученик гимназии, являющийся репетитором, пытается решить задачу методами алгебры, но пожилой бухгалтер справляется с той же задачей при помощи счёт. Это позволяет сделать вывод о том, что иногда решение сложной задачи, требующее специальных знаний (в данном случае - умения составлять и решать системы линейных уравнений с двумя переменными) можно провести гораздо проще с помощью арифметических методов. Именно к таким задачам относится группа задач «о ногах и головах». Однако этих задач в школьных учебниках 5-6 класса – минимум (одна – две). А как же их увидеть? «Неопытным игрокам» полезна будет тренировка - упражнение на узнавание данного типа задач. Познакомьте ученика с задачей из учебника, а затем предложите среди нескольких разных задач выявить те, которые нам подходят.
Например, такой набор (авторские задачи):
1. Петя получил за неделю 15 оценок. Часть из них составляли «тройки», а остальную часть – «пятёрки» по пению. Сколько раз за эту неделю Петя посетил урок пения, если он получал ровно «пятёрку» за каждый такой урок, а сумма баллов в его дневнике равна 47?
2. Вовочка и Васенька получили за неделю 15 оценок. Вовочка получил на 3 оценки больше, чем Васенька. Сколько и каких оценок получил Васенька, если сумма Вовочкиных баллов равна 18, а общая сумма баллов равна 25?
3. В первом классе одной школы все дети с веснушками. У каждого мальчика по 10 веснушек, а у каждой девочки – по 15 веснушек. Всего в классе 25 детей. Сколько в классе девочек, если сегодня присутствуют все ученики и учительница насчитала 265 веснушек?
4. Пять чёрных и рыжих обезьян составили, держась каждая за хвост предыдущей, подвесной мост между двумя краями глубокого оврага. Длина получившегося моста 3м 20см. Сколько чёрных и сколько рыжих обезьян висят над оврагом, если длина чёрной обезьяны от кончиков пальцев до кончика хвоста 60см, а длина рыжей обезьяны – 70 см?
5. Расстояние между двумя пряничными домиками – 6 км. Из домиков одновременно выбегают пряничные человечки (мальчик и девочка) и бегут по прямой навстречу друг другу. Скорость мальчика – 1 км/ч, девочки – 0,5 км/ч. Через сколько часов мальчик и девочка встретятся?
6.Мухи и слоны играют в футбол. Всего на поле 14 игроков (не обязательно поровну). В воротах никто не стоит. Запишите счёт матча МУХИ:СЛОНЫ, если каждая нога (лапа) бьёт по мячу ровно один раз и забивает, а всего по полю топает 68 лап. (У каждой мухи 6 лап, у каждого слона 4 ноги).
Из предложенных задач подходят по теме 1-я, 3-я, 4-я и 6-я.
Давайте попробуем решить такую задачу:
Нескольким собакам и кошкам дают на ужин галеты. Каждая собака получила по 6 галет, а каждая кошка - по 5 галет. Сколько было собак и сколько кошек, если всего было 28 зверей и они слопали общими усилиями 153 галеты?
Семиклассник к концу учебного года авторитетно вам заявит: «Эта задача решается с помощью системы уравнений с двумя переменными».
Но вспомните рассказ Антона Павловича Чехова «Репетитор»... Там отец незадачливого ученика говорит: «И без алгебры решить можно... Вот-с, по-нашему, по-неучёному». Он абсолютно прав. В самом деле - такая задача под силу даже второкласснику, освоившему лишь простейшие арифметические действия. Правда, для успешного её решения необходимо умение представлять ситуацию в несколько необычном виде... Попробуем?
ШАГ ПЕРВЫЙ:
ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ВСЕ (абсолютно все!) ЗВЕРИ - ЭТО КОШКИ.
ШАГ ВТОРОЙ:
Сколько галет сумеют съесть ВСЕ 28 «КОШЕК»?
Конечно, 28 * 5 = 140 галет.
Но ведь на самом деле уничтожено 153 галеты!!! За счёт чего получился остаток? Понятно, ведь не все животные были кошками! Некоторые - собаки!
ШАГ ТРЕТИЙ:
А чем собака отличается от кошки (ВНИМАНИЕ!! ОТЛИЧАЕТСЯ НЕ В РЕАЛЬНОЙ ЖИЗНИ, А ПО УСЛОВИЮ ЗАДАЧИ!)?
Все просто - она съедает на одну галету больше, значит, чтобы "превратить" кошку в собаку, нужно только дать ей эту недостающую галету из остатка! В остатке у нас 153 - 140 = 13 галет и, значит, собак ровно 13. Кошки - все остальные звери, то есть их 28 - 13 = 15.
ОТВЕТ: 15 КОШЕК И 13 СОБАК.
Вот такое «второклассное» решение «семиклассниковой» задачи. Если захотите в нём получше разобраться и попрактиковаться в решении подобных задач, то последняя часть этого опуса - для вас: итак,
ЗАДАЧА 1:
В зоопарк привезли крокодильчиков и страусят. Сколько каких «малышей» теперь в зоопарке, если в накладной на новоприбывших указано только количество голов (150) и ног (302) ?
ЗАДАЧА 2:
На планете Омикрон живут пятирукие и трёхрукие роботы. Несколько роботов затеяли дружескую потасовку. Какие роботы победят, трёхрукие или пятирукие, если вокруг 17 голов мелькают 69 рук ?
ЗАДАЧА 3:
Хрюки съедают на обед по 11 пусек, а фрюки - по 17 пусек. Несколько хрюк и фрюк пообедали. На сколько и кого было больше: хрюк или фрюк, если на столе осталось 9 приборов и шкурки от 141 пуськи?
И последнее: не все сразу справятся с этими задачами. Тогда - подсказка: попробуйте понять, какое действие при разборе решения самой первой задачи от вас нарочно «спрятали»?
Если занятие проводится в 7 классе, полезно выполнить решение задач и с помощью системы уравнений с двумя переменными. Это позволит учащимся воспринимать алгебраическое решение задачи в сравнении с арифметическим, что даст возможность логического развития учащихся, а также вооружит их ещё одним способом «борьбы с задачами». И, наконец, два варианта предлагаемых ниже задач позволят как ученику поработать с предложенным материалом, так и учителю провести с подопечными самостоятельную работу.
ВАРИАНТ 1
|
ВАРИАНТ 2
|
ОТВЕТЫ:
| 1. Пробные задачи | Доп. Задачи |
С/р – 1 вар |
С/р – 2 вар |
1) Петя 1 раз был на уроке пения |
1) крокодильчик, 149 страусов 2) победят 5-рукие роботы |
1) 22 и - 49 |
1) -23 и 10 |
Решение задач