В работу вошли некоторые вопросы, связанные с уравнением прямой в прямоугольной системе координат. Собственно, данная творческая работа возникла из желания автора говорить со своими учениками о пучке невертикальных прямых с центром в произвольной точке (xₒ;yₒ) вида y=k(x-xₒ)+yₒ.
Материал для повторения уравнения прямой подробно визуализирован в презентации. Данная статья- сопровождение презентации.
1) Всякая прямая в прямоугольной системе координат определяется уравнением ax+by+c=0.
Повторение уравнений геометрических фигур имеет смысл начать с уравнения прямой. В 11 классе у учащихся уже есть опыт решения задач координатным методом, они знакомы с понятиями «направляющая прямая», «нормаль плоскости», поэтому здесь выбран вывод уравнения прямой в общем виде ax+by+c=0 в прямоугольной системе координат с помощью направляющего вектора и вектора нормали к прямой.
2) Частные случаи общего уравнения при b=0 (уравнение вертикальной прямой) и b≠0 (уравнение невертикальной прямой). Уравнение невертикальной прямой y=kx+m наиболее изучено начиная с 7 класса, оно не нуждается в пояснениях.
3) Частные случаи уравнения невертикальной прямой y=kx+m при k=0 (уравнение горизонтальной прямой y=m при каждом m) и при m=0 (уравнение невертикальной прямой y=kx при каждом k) встречаются в практическом материале часто (например, в №23 ОГЭ)
4) Геометрический смысл коэффициентов уравнения невертикальной прямой y=kx+m. Угловой коэффициент k показан как значение функции прямой пропорциональности y=kx при х=1; m- значение линейной функции y=kx+m при х=0 и ордината точки пересечения графика линейной функции y=kx+m с осью Оу; указан алгоритм нахождения угла наклона невертикальной прямой y=kx+m к положительному направлению оси Ох. Равенство k=tgα подробно рассматривается автором в другой работе.
5) Динамическая модель пучка прямых вида y=kx при k=-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4 помогает перейти к рассмотрению пучка невертикальных прямых с центром в произвольной точке (xₒ;yₒ) вида y=k(x-xₒ)+yₒ.
6) Отдельно рассматриваются задания ЕГЭ, в которых востребованы знания, связанные с угловым коэффициентом невертикальной касательной, равным значению производной в точке касания.
7) Отдельно представлен пример подхода к решению конкретной системе из двух уравнений с двумя неизвестными с параметром из материалов ЕГЭ.
8) Приложение 1. Индивидуальный конспект на печатной основе. Отработка на большом количестве примеров поиска углового коэффициента невертикальной прямой. Алгоритмы нахождения углового коэффициента прямой по двум точкам, заданным на декартовой системе координат.
1 способ (аналитический)
Пусть E(e;f) и D(d;q) - две точки прямой. Если e=d, то прямая вертикальная и ее уравнением является x=m, если e≠d, то уравнением невертикальной прямой является y=kx+m. Коэффициенты k и m можно найти с помощью решения системы
2 способ (по чертежу)
1. Прямая параллельна оси Ох; k=0.
2. Прямая образует с положительным направлением оси Ох острый угол DFO, k>0.
3. Прямая образует с положительным направлением оси Ох тупой угол OFT, k<0.
9) Видео на основе «Живой Математики» (Geometry’s Sketchpad v. 4), на котором наглядно показано изменение положения невертикальной прямой y=kx при k от -8 до +8.
10) Актуальность рассмотрения с учащимися пучка невертикальных прямых с центром в произвольной точке (xₒ;yₒ) вида y=k(x–xₒ)+yₒ можно продемонстрировать на примере.
Пример системы с параметром, для решения которой необходимо представлять себе пучек невертикальных прямых с центром в т. M(2;3) из сборника В.С.Высоцкий. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ Москва Научный мир 2011.
Второе уравнение системы для каждого a задает прямую, проходящую через точку M(2;3): y=a(x–2)+3.
11) Автор благодарен большому числу источников, изученных за длительный период, которые позволили ему создать данный продукт. Главные из них- лекции в МГПИ им. Ленина Юрия Семеновича Очана, Вадима Георгиевича Лемлейна, семинары Людмилы Сергеевны Ложниковой-Бестаевой и др. преподавателей.