В каждом классе есть учащиеся, которые пытаются самостоятельно проводить исследования по тем или иным математическим вопросам. Для них целесообразно проводить отдельные уроки, где можно показать и защитить результаты своей творческой работы.
Подготовка к уроку может длиться до двух недель. Объявляется тема, даётся список рекомендованной литературы, определяется время написания рефератов и дата их проверки. На протяжении всего времени учитель проводит консультации: помогает определиться с использованием литературы, разобраться с более сложным теоретическим материалом, объясняет решение некоторых задач, просматривает и корректирует рефераты, отбирает наиболее удавшиеся работы для защиты. В это же время ученики, которые не работают над рефератами, готовят вопросы выступающим.
В представленной разработке урока показаны несколько работ учащихся, которые, считаю, были наиболее интересны.
Цели урока:
- формировать умения применять полученные знания в нестандартных условиях, учить анализировать и систематизировать те знания, которые учащиеся получают на уроках и в дополнительной литературе;
- развивать логическое мышление;
- воспитывать настойчивость, чувство ответственности, уверенности в себе.
На экране надпись:
Если вы хотите научиться плавать,
то смело входите в воду,
а если хотите научиться
решать задачи, то решайте их.
(Д.Пойа)
Ход урока
I. Актуализация опорных знаний (в форме беседы, участие принимают все учащиеся)
Вопросы для беседы.
- Сформулировать определение арифметической прогрессии.
- Какое число называют разностью арифметической прогрессии?
- Какой формулой можно записать любую арифметическую прогрессию?
- Сформулировать определение геометрической прогрессии.
- Что называют знаменателем геометрической прогрессии?
- Записать формулу п-го члена арифметической прогрессии.
- Записать формулу п-го члена геометрической прогрессии.
- Записать формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии.
- Записать формулу суммы п первых членов геометрической прогрессии.
- Записать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой | q | < 1.
II. Сообщение темы и цели урока
Объявляются фамилии докладчиков и порядок их выступлений.
III. Творческое применение обобщенных знаний, навыков и умений
Докладчики выступают со своими сообщениями. В конце каждого выступления учащиеся задают вопросы докладчику. Ученики, которые готовили рефераты, но на данном уроке не выступают, могут дополнять докладчика.
Первое выступление
С давних времён известны задачи, в результате решения которых появляются числа - гиганты. Понятно, что речь идёт о задаче, связанной с геометрической прогрессией (q ˃ 1). Одна из наиболее известных задач из легенды о изобретателе шахмат. Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахмат и предложил, чтобы он сам выбрал для себя награду. Царь был поражен скромностью просьбы: дать за одну клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - две, за третью - ещё в два раза больше, то есть четыре, за четвёртую - ещё в два раза больше, и так до 64 клеток. Возникает закономерный вопрос: сколько зёрен должен был получить изобретатель шахмат?
Эта задача впервые появляется у великого математика из Хорезма - аль-Бируни (973 - 1048 г.г.). Количество зёрен, о которых ведётся речь в задаче, является суммой 64членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 1, а знаменатель - 2.
Найдём эту сумму (S) несколько иным способом, нежели в школьном учебнике:
Подсчитано, что количество зёрен, которые хотел бы получить изобретатель шахмат - 18446744073709551615, что приблизительно составляет 13,8 млрд. 40-тонных вагонов. Это количество зерна, рассыпанное по всей поверхности Земли, образует шар, в котором на 1 м2 приходится 4,3 кг зерна.>
Аналогично можно вывести формулу суммы п первых членов геометрической прогрессии в общем виде:
Пример 1. Найти сумму
S = 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + 64 - 128 + 256 - 512;
S = 1 - 2(1 - 2 + 4 - ... +256); S = 1 - 2(S + 512);
3 S = - 1023; S = - 341.
Пример 2. Найти сумму
Второе выступление (фрагмент)
Задача 2. Решить уравнение
(х2+ х + 1) + (х2+ 2х + 3) + (х2+ 3х + 5) + ... + (х2+ 20х + 39) = 4500.
Слагаемые х2+ х + 1, х2+ 2х + 3, х2+ 3х + 5, х2+ 20х + 39 образуют арифметическую прогрессию, у которой d = x +2, n = 20.
Тогда
. С другой стороны S20= 4500.
Значит, ((х2+ х + 1) + (х2+ 20х + 39)) ∙ 10 = 4500; 2 х2+ 21х - 410 = 0. Корни этого уравнения, а значит, и начального: х1= 10; х2= - 20,5.
Третье выступление
Задача 1. Решить уравнение 2х + 1 + х2 - х3+ х4- х5 + ... = 
, где | x | < 1.
Перепишем уравнение в следующем виде: 2х + 1 + (х2 - х3+ х4- х5 + ...) = . (*)
В скобках получили сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, где b1= х2, q = - х. По формуле 
эта сумма равна 
.
Поэтому уравнение (*) равносильно такому уравнению:
Корни уравнения 
Задача 2. Решить уравнение 
Решение аналогично предыдущему:
Обсуждение выступлений. Ученики выражают своё мнение о защите творческих работ, анализируют эти работы (соответствие теме, полнота раскрытия, красота и логика изложения), вносят дополнения, делают поправки.
IV. Итоги урока
Учитель подытоживает выступления, указывает на культуру математической речи и речи вообще, на лаконичность и ясность докладов и ответов на вопросы. Оценки выставляются за основные выступления и за дополнения к ним.