Примеры комбинаторных задач. 9-й класс

Действия учителя

Действия учащихся

Организационный момент

Проверяет готовность к уроку. Мотивирует обучающихся на изучение темы.

Каждый выбирает для себя
Женщину, религию, дорогу.
Дьяволу служить или пророку -
Каждый выбирает для себя.

Каждый выбирает по себе
Слово для любви и для молитвы.
Шпагу для дуэли, меч для битвы -
Каждый выбирает по себе.

Каждый выбирает по себе:
Щит и латы. Посох и заплаты.
Меру окончательной расплаты
Каждый выбирает по себе.

Каждый выбирает для себя.
Выбираю тоже - как умею.
Ни к кому претензий не имею -
Каждый выбирает для себя.
Ю.Д.Левитанский

Определяют готовность к уроку
Слушают музыку

Актуализация знаний

Инструктаж.

Найти в Интернете понятие комбинаторики и комбинаторной задачи.

Кто является основоположником современной комбинаторики? В каком веке зародилась комбинаторика как наука?

Задания для групп.

10 человек выполняют тест на компьютере https://oge.sdamgia.ru
Маева и Ермакова ищут в Интернете понятие комбинаторики и комбинаторной задачи и рассказывают о комбинаторике

Проверка д/з.

Решение задач с остальными.

Ответы: 0,000015, 2√3, 15,75

Проверка д/з.

Слайды 3–7

Подготовка к восприятию нового материала.

Предлагаю вам решить старинную задачу VIII века: ВОЛК, КОЗА и Капуста. “Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу. Если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. А в присутствии человека никто никого не ест. Как перевезти груз через реку?”

Учащиеся решают задачу, комбинируют разные сочетания, оценивают варианты. Получают следующее решение

Объяснение нового материала

В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций, образованных по определённому правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающейся решением этих задач, называется комбинаторикой. С комбинаторными задачами люди имели дело ещё в глубокой древности, когда, например, они выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. Позже появились нарды, шахматы. Как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII веке. В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказались биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилась с применением компьютеров.

Слушают рассказ учителя и выступление одноклассников

1. Рассмотрим примеры некоторых комбинаторных задач. Слайд 11.
Учитываем условия: каждая цифра должна использоваться в записи числа всего один раз. Порядок элементов следует учитывать.
2. Из цифр 2, 4, 7 составить трёхзначное число, в котором ни одна цифра не может повторяться более двух раз. а) Сколько таких чисел начинается с 2? б) Сколько всего таких чисел можно составить?
Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении этих задач, называется перебором возможных вариантов.
3. На завтрак можно выбрать булочку, кекс, пряники или печенье, запить можно чаем, соком или кефиром. Сколько вариантов завтрака есть?
Комбинаторное правило умножения. Слад13
Для того, чтобы найти число всех возможных исходов (вариантов) независимого проведения двух испытаний А и В, надо перемножить число всех исходов испытания А на число всех исходов испытания В.
Выводы

Делают записи в тетради, отвечают на вопросы учителя.
Подводят итоги

Физминутка

Учитель предлагает немного отдохнуть, не отвлекаясь от математики. «Встаньте, отодвиньте стулья от парт. Ваша задача, пересаживаясь на новое место в вашей группе, за 1 минуту посчитать количество возможных вариантов размещения за партами. Итак, минута закончилась, присели». «Сколько вариантов вы успели рассмотреть за минуту. А еще есть? Предлагает высчитать математически.

Выполняют указанные предписания на месте.
Слайд 9

Формирование умений и навыков

Работа в группах

1. Из чисел 1, 5, 9 составить трёхзначное число.
а) Сколько таких чисел без повторяющихся цифр?
б) Сколько всего таких чисел можно составить? (8 и 24)

2. «Этот вечер свободный можно так провести…» (А.Кушнер): пойти прогуляться к реке, на площадь или в парк и потом пойти в гости к Вите или к Вике. А можно остаться дома, сначала посмотреть телевизор или почитать книжку, потом поиграть с братом или разобраться наконец у себя на столе. Нарисовать дерево возможных вариантов. (10)

3. В закрытом ящике три неразличимых на ощупь шара: два белых и один чёрный. При вытаскивании чёрного шара, его возвращают обратно, а  вытащенный белый шар откладывают в сторону. Такую операцию производят 3 раза подряд.
а) Нарисовать дерево возможных вариантов.
б) В скольких случаях будут вытаскиваться шары одного цвета?
в) В скольких случаях среди вытащенных шаров белых будет больше? (7, 2, 1)

4. В комнате 3 лампочки. Сколько имеется различных вариантов освещения комнаты, включая случай, когда все лампочки не горят. (8)

5. В 9 классе в среду 7 уроков: алгебра, химия, литература, русский язык, английский язык, биология и физкультура. Сколько вариантов расписания можно составить? (5040)

6. Сколькими способами 4 вора могут по одному разбежаться на все 4 стороны. (24)

7. В семье 6 человек, а за столом в кухне 6 стульев. Было решено каждый вечер перед ужином рассаживаться на эти  6 стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений? (720)

Выбирают способ решения задачи, выступают представители групп со своими решениями

Контроль и проверка знаний

Выполнение теста

Выполняют и осуществляют взаимопроверку. Сдают тетради

Рефлексия

Лестница успеха

Заносят баллы в оценочный лист

Домашнее задание

1. П. 30, стр. 171-172, пример 1 и пример 2. Правило стр. 173. Индивидуально по карточкам

2. Высоко мотивированные - составляют 2 задачи

Записывают в дневник