Графический метод обладает рядом преимуществ:
- он часто проще аналитического;
- обладает наглядностью. Особенно когда нет решений или требуется установить количество корней.
- он красив и доставляет эстетическое наслаждение. Выполнять графики нужно в цвете. Это помогает в выборе ответа.
Умение строить графики функций не является самоцелью. Часто построение графиков связано с исследованием поведения функций. Однако необходимость построения графиков облегчают нахождение решений уравнений и неравенств, сокращая или упрощая аналитические выкладки и часто при этом являются единственным методом решения таких задач. Графический метод решения способствует лучшему усвоению ряда понятий: функции, корней уравнения и неравенства, систем уравнений. При этом целесообразно при графическом решении уравнений устанавливать связи с такими свойствами функций как возрастание и убывание, знакопостоянство, обращение функции в ноль и т.д., что помогает глубже понять функциональную зависимость между величинами. Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить график представляет большой самостоятельный интерес. Материал, связанный с построением графиков функций, в средней школе изучается недостаточно полно с точки зрения требований, предъявляемых на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков нередко вызывают затруднения у учащихся.
Для того, чтобы по графикам можно было получать достаточно приемлемые числовые ответы, графики должны быть особенно тщательно построены. Решается задача организации работы таким образом, чтобы выработать навыки быстрого построения графиков элементарных функций и их преобразований. Работа над формированием графических умений начинается с 5-го класса.
Изящно выполненная работа способствует развитию чувства красоты, удовлетворения от проделанной работы.
Изучение поведения функций и построение их графиков являются важным разделом школьного курса. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес для самих учащихся. Однако на базе основной школы материал, связанный с этим вопросом, представлен несколько хаотично, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу.
Цель – прояснить и дополнить школьный материал, связанный с функциями и построение их графиков, применением их к решению уравнений, их систем.
В требованиях к уровню подготовки выпускников по разделу «Функции и графики» прописано:
«Уметь:
- решать уравнения, системы уравнений, используя свойства функций и их графические представления;
- находить приближённые решения уравнений и их систем, используя графический метод.
В преподавание алгебры по учебнику под редакцией А.С.Теляковского. Линейная функция и функции у=х2, у=х3 изучаются в 7 классе. Практически не вырабатываются навыки в применении графиков этих функций. Единственное упражнение: найти координаты точек пересечения графиков функций у=8,5х и у=0,5х-19,5. графики линейных функций только иллюстрируют решение систем линейных уравнений.
Автор вводит некоторые упражнения, необходимые в дальнейшем при решении уравнений и их систем:
- постройте в одной и той же координатной плоскости а) у=х2; у=4; б) у=х2; у=2х.
- изобразите схематически графики функций у = -0,9х + 4; у = 2,3х; у = х/10 . Но упражнения вводятся как дополнительные. И в «Задачах повышенной трудности» (в конце учебника) есть уравнения, которые тоже можно решать графическим способом: |х -3| = 7; |х+2| = 9; |4 - х| = 1,5.
В 8 классе изучаются функции у = к/х; у =
. Представлены функции у = 4/|х|, у = -6/|х|.
Интересные задания.
- Могут ли графики функций у=к/х и у = ах +в пересекаться
а) в одной точке;
б) в двух точках;
в) в трёх точках.
- Могут ли графики функций у = к/х и у = ах +в пересекаться в двух точках, лежащих
а) в одной четверти;
б) в первой и второй четвертях;
в) в первой и третьей четвертях.
Опять же эти упражнения в дополнительных.
В 8 классе обучающихся знакомят с графическим способом решения уравнений (8/х = -х+6; (8/х = х2). Появляются уравнения третьей степени, которые не решаются аналитическим способом. (х3 - х + 1 = 0; х3 + 2х - 4=0) На изучение этой темы отводится 1 час.
В 9 классе подробно изучается квадратичная функция и её график. Получены обучающимися представления о преобразовании графического объекта относительно осей координат. Именно в это время отрабатываются навыки в построении параболы. Но данные преобразования почти не переносятся на преобразования других графических объектов. Хотя есть два упражнения, которые соотносятся с заданиями, встречающимися в материалах ЕГЭ.
На рисунке изображён график одной их функций 
. Какой именно?
- Какой из трёх графиков, изображённых на рисунке, является графиком функции у = |х -2|
Сделаны попытки преобразования графических объектов.
- Какие преобразования надо выполнить, чтобы
а) из графика функции у=х3 получить графики функций у = - х3; у = (х-3)3; у = х3 + 4.
б) из графика функции у = получить графики функций у = - ; 
- Постройте в одной координатной плоскости графики функций у = | х|; у =|х -4| ; у = |х -4|-3.
В учебнике 9 класса в главе «Целое уравнение и его корни» упоминается графический способ уравнений третьей и более высокой степени как один из способов наряду с разложением на множители.
Поэтому: уже в 7 классе строим графики функций у = | х| - 3, у = 4 - | х|; у =|х +4|; у = | х - 3|.
При построении параболы вводим первые преобразования:
- построить графики функций у = х2 +3; у=х2-5, где смещение по оси ординат. А затем у = (х+2)2; у = (х-1)2. Конечно, не все ученики усваивают, впрочем, как и всё содержание материала. Для успешных учеников это не сложно. Тем более это только пропедевтика.
В 8-м классе: Урок-практикум.
Тема: «График функции у = . Графический способ решения иррациональных уравнений»
Цель: отработать навыки в преобразовании графика функции у = , закрепить умения графически решать иррациональные уравнения.
I. Фронтально
1). Схематически в одной системе координат изобразить графики функций
2). Решить уравнения
II. Построить графики функций
III. Решение уравнений
Например:
- Решить графически
-x2+4=(x-2)2
X+1=(x-1)2
X2-3 =
x2-4=-(x+2)2
системы вида
В 8 классе строим преобразования гиперболы и графика функции у = .
Упражнения взяты из «Сборника задач по алгебре 8-9 класса» М.Л.Галицкого, А.И.Звавича. Уже на факультативных занятиях или занятиях кружка решаем уравнения с параметром |х2 -2х-3| = а. Определить, при каком а уравнение имеет три корня. Строим графики функций у = |х2 -2х-3|; у = а. Получаем ответ а = 4.
В 9 классе больше занимаемся исследованием квадратного трёхчлена. Формулы функций усложняю. Рассматриваем графики вида у = (х2 -2)2 - (х2 -1)2;
Необычность конструкций, разрыв графиков, удаление точек вызывает некоторую удивлённость. Тем самым преодолевается стандартность мышления, развивается воображение, повышается интерес: а что ещё может получиться? В каких случаях?
Уравнения, решаемые графическим способом.
I. Решение уравнений Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени большей 2.
| Уравнения | Функции |
Ответ |
х3 + х – 10 =0 |
f (х) = х3 g (х) = 10 – х |
2 |
х5 + х – 34 = 0 |
f (х) = х5 g (х) = 34 – х |
2 |
х4 + 5х –6 = 0 |
f (х) = х4 g (х) = –5х +6 |
-2, 1 |
х3 +3х2 = (х+2)6 + 4 |
f (х) = х3 +3х2 g (х) =(х+2)6 + 4 |
2 |
II. Уравнения с квадратным корнем.
III. Уравнения с модулем.
| Уравнения | Функции |
Ответ |
|х+2| + х = 0 |
f (х) = |х+2| g (х) = – х |
– 1 |
|х–3| – х +1 = 0 |
f (х) = |х–3| g (х) = х – 1 |
2 |
х2 – |х| = 0 |
f (х) = х2 g (х) = ÷ х÷ |
– 1, 0, 1 |
х2 – 2 +| х| = 0 |
f (х) = х2– 2 g (х) =– ÷ х÷ |
– 1, 1 |
х2 – 2х +| х– 2| = 0 |
f (х) = х2 – 2х g (х) = –÷ х– 2÷ |
1,2 |
1/2х2 + 2х + |х+4|=0 |
f (х) = 1/2(х2+4х) g (х) = –÷ х + 4÷ |
–4, –2 |
|х| – 1/х=0 |
f (х) = | х| g (х) = 1/х |
1 |
| х| + 4/х=0 |
f (х) = |х| g (х) = – 4/х |
– 2 |
Считаю, что основное в решение уравнений графическим способом – это преодоление психологического барьера. Считаю, главным сформировать мнение о графическом способе как равноправном наряду с другими.