Успешное освоение школьного курса математики предполагает не только глубокое понимание изучаемого материала, но также и запоминание достаточно большого количества фактов и определений. Особенно это характерно для старших классов. Практика показывает, что наиболее трудно поддаются запоминанию блоки формул, «похожих» друг на друга (например, формулы произведения из курса тригонометрии), а также различные последовательности цифр (как пример – цифры после запятой в десятичной записи числа π).
Запоминание некоторых фактов облегчают специальные приёмы, которые называют мнемоническими. Мнемоника (от греческого «μνημονικόν » - искусство запоминать) занимается разработкой совокупности специфических приёмов, которые позволяют легко и быстро запоминать информацию, а также увеличивают объём памяти. Достигается такой результат путём образования определённых ассоциаций, замены одних запоминаемых объектов другими. Следует отличать мнемонические приёмы запоминания от запоминания механического («зубрёжки»): в первом случае обязательно предполагается наполнение запоминаемого объекта определённым смыслом и содержанием, что позволяет держать в памяти нужную информацию неограниченное время, тогда как во втором случае запоминание основано на многократном повторении, которое, в конечном счёте, не позволяет владеть выученным материалом и не способствует именно пониманию. В этой связи стоит отметить, что наиболее предпочтительным для учащихся является использование именно мнемонических приёмов, которые обеспечивают и запоминание, и понимание материала.
Проиллюстрируем использование мнемонических приёмов на нескольких конкретных примерах. Для удобства разделим материал на несколько блоков (в зависимости от принадлежности к тому или иному классу). Мнемонические приёмы, разработанные автором, отмечены символом *.
Темы из курса математики 5 класса
1) Распределительное свойство *
a(b + c) = ab + ac
Несмотря на простоту данного свойства, учащиеся очень часто допускают ошибки вида:
- a(b + c) = ab + c;
- a(b + c) = ac + b;
- a(b + c) = abc и т.д.
Хорошим приёмом для запоминания и использования данного свойства является следующая интерпретация: a – гость, b и c – хозяева, которые сидят в доме (в скобках). Когда гость заходит в дом, он должен поздороваться со всеми: с одним хозяином и со вторым (то есть, сначала a «здоровается» с b, потом a «здоровается» c с). Здоровается, то есть, - умножается. Очень полезно также рисовать стрелочки – от a к b и от a к c.
2) Значения буквенных выражений при заданных значениях переменных *
Для многих учеников оказывается непонятной следующая задача: «Найти значение буквенного выражения при данных значениях переменных». Например, возьмём выражение 2x – 5y + 3. Пусть требуется найти его значение при x = 0, y = 0. Наиболее типичные ошибки:
а) учащиеся забывают о том, что между числом и буквой стоит знак умножения, поэтому выполняют задание следующим образом 20 – 50 + 3 = –27:
б) учащиеся не понимают суть подстановки: 20x – 50y + 3.
Для того чтобы ученики справились с этим заданием успешно, необходимо, во-первых, помнить про умножение (это будет решением проблемы в пункте а). Решить проблему пункта б) можно с помощью такой договорённости: будем понимать под значением переменной «маску» - надевая новую «маску», буква «выглядит по-новому» (то есть, переменная принимает новое значение). То есть буква скрывается под маской "0", так же как и буква . Правильное решение: 2 · 0 – 5 · 0 + 3 = 3
3) Сложение и вычитание обыкновенных дробей *
Основная проблема, с которой сталкиваются учащиеся, это сложение и вычитание не только числителей, но и знаменателей. Типичные ошибки:
Думается, что допускают такую ошибку при вычитании те учащиеся, которые не помнят о том, что черта дроби символизирует деление, а делить на нуль нельзя. Здесь на помощь приходит «правило предлога ИЗ», суть которого заключается в следующем. В начале изучения темы «Обыкновенные дроби» учащимся разъясняется смысл понятия дроби: например (в терминах долей), 1/5 это одна доля из пяти. Поэтому если к одной доле из пяти добавить три доли из пяти, получим четыре доли из пяти (но никак не из десяти). То же самое при вычитании: если от семи долей из восьми отнять три доли из восьми, останется четыре доли из восьми (а не из нуля).
4) Деление десятичных дробей на натуральные числа. Правило границы *
Записывая деление «в столбик», можно использовать следующий приём. Через запятую проводится вертикальная черта, которая ассоциируется с границей, перешагнув через которую, необходимо поставить запятую в частном. Например:
Итак, при «перешагивании» красной линии в частном ставится запятая.
Темы из курса математики 6 класса
1) Десятичная запись числа
Для запоминания цифр десятичной записи числа π=3,1415926 существует масса рифмованных фраз (а также стихотворений). Например:
«Это я знаю и помню прекрасно – пи многие цифры мне лишни, напрасны» (длина каждого слова – соответствующая цифра записи; например, длина «это» - 3, длина «я» - 1, длина «знаю» - 4 и т.д.);
«Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Ну и дальше надо знать,
Если мы вас спросим –
Это будет: пять, три, пять,
Восемь, девять, восемь»
2) Умножение и деление положительных и отрицательных чисел
Первый вариант – правило Брахмагупты (Брахмагупта (598-660) – индийский математик и астроном). Положительное число – «друг», отрицательное число – «враг».
Друг моего друга – мой друг (+·+=+, +:+=+);
Враг моего врага – мой друг (–·–=+, –:–=+ );
Друг моего врага – мой враг (+·– = –, +:–=–).
Второй вариант – «одинаково или нет?» *
Задаётся вопрос о знаках множителей: знаки одинаковы? Если да, кивание головой сверху вниз говорит о том, что нужно поставить знак «плюс». Если нет, кивание головой слева направо говорит о том, что нужно поставить знак «минус».
3) Раскрытие скобок *
Одно из наиболее простых правил – знак «плюс» перед скобками интерпретируется как «да, можно», а знак «минус» - как «нет, нельзя». Итак, можно ли сохранить знаки слагаемых в скобках, если перед скобками стоит плюс? Да, можно. Можно ли сохранить знаки слагаемых в скобках, если перед скобками стоит минус? Нет, нельзя.
4) Решение уравнений
При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую большинство учащихся забывает поменять знаки этих слагаемых. В таком случае знак равенства можно интерпретировать как некую границу. При «перелёте» через границу (через знак равенства) «гражданин» (слагаемое) меняет «паспорт» (знак). Знак слагаемого трактуется как его паспорт.
Темы из курса математики 7 класса
1) Умножение одночлена на многочлен *
Данное правило полностью аналогично правилу, которое применяется для запоминания распределительного свойства. Одночлен интерпретируется как «гость», а слагаемые, составляющие многочлен, интерпретируются как «хозяева», находящиеся «в доме» (в скобках). «Гость» по очереди «здоровается» с каждым «хозяином» в доме (одночлен по очереди умножается на каждый одночлен в скобках).
Например, 2x(3y – 4x) = 6xy – 8x². Здесь «гость», 3y, –4x – «хозяева».
2) Умножение многочлена на многочлен *
Это правило является обобщением предыдущего. Теперь к «хозяевам» приходит несколько «гостей», и каждый «гость» по очереди здоровается с каждым «хозяином». В терминах это звучит так: каждый одночлен первого многочлена нужно умножить на каждый одночлен второго многочлена. Например, (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by.
3) Медианы, биссектрисы и высоты в треугольнике
Приведём известные стихотворения, описывающие суть этих базовых геометрических понятий.
«Биссектриса – это крыса, которая бегает по углам, делит угол пополам».
«Медиана – обезьяна, у которой зоркий глаз. Точно прыгнет в середину стороны против вершины, где находится сейчас».
«Высота похожа на кота, который, выгнув спину, под прямым углом соединит вершину и сторону хвостом».
Темы из курса математики 10 класса
1) Формулы приведения
Этих формул насчитывается 32 штуки: для каждой из четырёх основных тригонометрических функций по восемь вариантов углов. Проблема заключается ещё и в том, что эти формулы (для данной функции) очень похожи друг на друга. Например, выпишем эти формулы для косинуса:
Как видим, механическому запоминанию данные формулы практически не поддаются. Отличным способом запоминания (а если точнее, не запоминания, а быстрого вывода) этих формул является «правило ослика». При составлении формулы нужно ответить на 3 вопроса: 1) В какой четверти находится угол? Здесь угол a предполагается острым; 2) Какой знак имеет функция в данной четверти? Ставим этот знак; 3) Меняется ли функция на кофункцию? Именно этот шаг оправдывает название правила: если в аргументе стоит 
/2 или 3/2, то функцию нужно поменять (на тригонометрической окружности точка вверху, точка внизу, поэтому «ослик» кивает головой сверху вниз и снизу вверх, тем самым положительно отвечая на вопрос); если в аргументе стоит или2 , то функцию менять не нужно (на тригонометрической окружности точка слева, точка 2 справа, поэтому «ослик» кивает головой слева направо и справа налево, тем самым отрицательно отвечая на вопрос).
2) Достаточные условия монотонности функции на промежутке *
Если функция имеет на промежутке положительную производную, то она возрастает на этом промежутке; если функция имеет на промежутке отрицательную производную, то она убывает на этом промежутке.
Для запоминания этого факта можно использовать «правило горы». Возрастая, функция «поднимается в гору», при этом высота её подъёма над поверхностью увеличивается (это знак «плюс»); убывая, функция «спускается с горы», при этом высота её подъёма над поверхностью уменьшается (это знак «минус»).
3) Достаточные условия выпуклости функции на промежутке
Если функция имеет на промежутке положительную вторую производную, то она на этом промежутке выпукла вниз; если функция имеет на промежутке отрицательную вторую производную, то она на этом промежутке выпукла вверх. Здесь применяются три похожих правила.
а) Правило улыбки
Знак «плюс» ассоциируется с позитивом, поэтому «улыбка весёлая», знак «минус» ассоциируется с негативом, поэтому «улыбка грустная». Улыбка показывает направление выпуклости графика (весёлая – выпуклость вниз, грустная – выпуклость вверх).
б) Правило зонтика
Если зонтик расположен правильно (рисунок слева – видим выпуклость вверх), то на голове дождевой воды нет (нет это «минус» - знак второй производной). Если зонтик расположен неправильно (рисунок справа – видим выпуклость вниз), то на голове дождевая вода есть (есть это «плюс» - знак второй производной).
в) Правило стакана
Если стакан стоит правильно, то есть, дно выпукло вниз, то в нём есть вода (есть это «плюс»). Если стакан стоит неправильно, то есть, дно выпукло вверх, то в нём нет воды (нет это «минус»).
Темы из курса математики 11 класса
1) Монотонность показательной и логарифмической функций *
Учащиеся должны помнить, что если основание показательной (логарифмической) функции больше единицы, то функция строго возрастает, а если основание меньше единицы (но больше нуля), то функция строго убывает. Здесь можно использовать «правило потолка». Речь идёт о двух множествах: a > 1 и 0 < a < 1. Первое множество неограниченно сверху – потолка нет, можно вытянуться во весь рост (что ассоциируется с движением вверх); второе множество ограничено сверху – потолок есть, нужно пригнуться (что ассоциируется с движением вниз).
2) Дифференцирование экспоненты *
Как известно, экспонента является единственной функцией, совпадающей со своей производной. Это единственная хитрая функция (сразу видно ex).
3) Объёмы тел
При запоминании формул для объёмов тел можно использовать стихотворения. Например:
а) Объём шаров слетает с губ – четыре третьих пи эр куб;
б) Чтобы не попасть впросак и не понизить тонуса, твёрдо запомни: пи эр эль – боковая поверхность конуса.
Заметим также, что учащиеся могут пользоваться не только готовыми (общеизвестными) мнемоническими приёмами: можно предлагать самостоятельно придумывать такие приёмы (в виде творческих заданий или даже проектов), особенно ученикам, проявляющим повышенный интерес к математике.