Текстовые задачи входят в ОГЭ и ЕГЭ. Поэтому, данная тема имеет важнейшее значение в обучении математике. Хорошее преподавание текстовых задач играет неоценимую роль в этот период, для того, чтобы при встрече текстовых задач в заданиях ОГЭ и ЕГЭ они не вызывали затруднений.
Хочу поделиться уже опробованным и получившим положительный отзыв от учителей, работающих в 9-11-х классах, и самих учащихся, приемом для решения задач на «смеси и сплавы».
По моему опыту, научить решать большинство текстовых задач, содержащихся в открытом банке, можно практически любого выпускника. Конечно, при этом определяющими факторами являются желание и стремление ученика, и владение простыми вычислительными навыками. В данной статье хотела бы показать простое решение задач на растворы, смеси и сплавы. Мне кажется, что именно такой тип задач вызывают основные трудности.
В качестве практического материала мною были использованы задачи «от составителей» из «открытого банка заданий».
Существует много способов решения задач на растворы, смеси и сплавы. Но я бы хотела остановится на одном из них, который, по моему мнению, самый простой для усвоения решения таких задач.
При решении этих задач полезно применить очень удобную модель и научить школьников пользоваться ею. Изображаем каждую смесь (сплав) в виде римских цифр (I – первый сплав, II – второй сплав и т.п.), количество которых соответствует количеству составляющих эту смесь (этот сплав) элементов. Данная модель позволяет компактно и наглядно представить процессы сплавления, смешивания, и упрощает составление уравнения.
Вначале решения данных задач необходимо напомнить, что процентом называется его сотая часть и три основные задачи на проценты:
1. Найти 15% от числа 40.
Решение: 40•0,15=6.
2. Найти число, 15% которого равны 30.
Решение: 30:0,15=200.
3. Сколько процентов составляет число 180 от 600?
Решение: 180:600•100%=30%.
Рассмотрим задачу.
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Изобразим каждый из сплавов в виде римских цифр I, II и получившийся сплав после сплавления III (то есть по числу составляющих элементов). Кроме того, на модели отобразим характер операции – сплавление, поставим знак «+» между первым и вторым числом. Поставив знак «=» между вторым и третьим числом, мы тем самым показываем, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух.
Полученная схема имеет следующий вид:
I + II = III
Теперь заполняем в соответствии с условием задачи:
Сверху над числом будем отмечать массу соответствующего сплава, а снизу процентное содержание чистого вещества.
Решение. Пусть х кг – масса первого сплава. Тогда, (х+3) кг – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями.
Получим следующую схему:
Необходимо учащимся объяснить, основное правило смешивания смесей или сплавления сплавов:
- Масса раствора (смеси, сплава) равна сумме масс всех составляющих.
- При смешивании нескольких растворов (смесей, сплавов) масса нового раствора становится равной сумме всех смешанных растворов.
- Масса растворенного вещества при смешивании двух растворов суммируется.
Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):
Решив это уравнение, получаем х=3. При этом значении х выражение 2х+3=9. Таким образом, масса третьего сплава равна 9 кг.
Ответ: 9 кг.
Рассмотрим сложнее задачу. Для данной задачи провожу аналогичные рассуждения только ведем записи совместно для двух случаем, которые описываются в этой задачи.
Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
Пусть масса 30-процентного раствора кислоты – х кг, а масса 60-процентного – у кг.
Упрощая каждое по отдельности уравнение, затем эти уравнение запишем в систему уравнений и решим
Получим х=60, у=30. Таким образом масса 30-процентного раствора кислоты 60 кг.
Ответ: 60 кг.
Такую визуализацию удобно использовать в задачах на растворы, смеси и сплавы. Такая модель помогает зрительно воспринимать задачу.
Таким способом можно решать задачи на проценты на «сушку». Только необходимо учащимся объяснить, что при высыхании из абрикоса испаряется вода, количество сухого вещества не меняется. Для начала найти процентное содержание сухого вещества в свежих фруктах, а потом в сушенных. Потом составить аналогичную схема для решения такой задачи.
Из моего опыта очень много ребят после этого объяснения стали решать такие задачи.