Урок на тему "Применение распределительного свойства умножения". 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цель урока: повторить понятие и свойства степени с натуральным показателем; ввести понятие и свойства степени с отрицательным целым показателем; формировать умение работать со степенями с целым показателем  и научить применять ее при вычислениях и преобразованиях.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний, который является первым в системе уроков по теме "Степень с отрицательным целым показателем".

Формы работы: индивидуальная, групповая, фронтальная.

Методы: частично-поисковые, наглядные, словесные.

Оборудование: проектор с компьютером, “Алгебра 8” (учебник и задачник, автор А.Г.Мордкович), презентация (приложение 1)

Эпиграф:

“Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь”.

Ход урока

1. Организационный этап

Здравствуйте!  Проверьте, пожалуйста, наличие раздаточного материала у вас на парте и   свою готовность к уроку. Садитесь.

2. Мотивация к учебной деятельности. Постановка цели урока

Математика – это одна из основных наук. Без знания математики трудно будет жить любому человеку.

Знающий математику человек – это умный человек. А как сказал французский ученый Р.Декарт: “Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять”. Сегодня на уроке, ребята, каждый из вас применит свой ум, свои знания и умения

То, что мы знаем, - ограниченно, а то, чего мы не знаем, - бесконечно.

Пьер Лаплас, французский математик, физик, астроном

И сегодня мы с вами пополним свой багаж знаний. Откройте тетради, запишите число, классная работа.

У вас на партах лежит список целей, выбрав одну из них, вы должны попытаться достичь ее к концу урока. В конце урока мы проведем анализ, достигли вы выбранной цели или нет и почему. Обведите в кружок номер выбранной вами цели.

1. Приобрести умения совместной деятельности.

2. Умение учиться самостоятельно.

3. Умение хорошо говорить и легко выражать свои мысли.

4. Учиться применять свои знания и умения к решению новых проблем.

5. Умение уверенно и легко выполнять математические операции.

3. Актуализация знаний учащихся

Работаем устно

(слайд 2)

1. Найди число, обратное данному. В этом нам поможет группа 3 “Заменитель”. Какие числа называются взаимно обратными? (произведение которых равно единице)

4; ; ; ; ; 0

(слайд 3)

2. Вычислите 23, (0,3)2, 70, (-3)4, 125, 04, 00, (-4)3; (-36)0;

4. Постановка проблемы

4-3. Как вы думаете, это положительное число или отрицательное?

"Не верь глазам своим" - сказал бы Кузьма Прутков тому, кто считает это число отрицательным. И сейчас мы разберемся, что вообще означает такая запись.

Масса Солнца 1, 9891 кг, масса атома водорода 1,66 кг, диаметр молекулы кислорода 0,36 м, расстояние от Земли до Солнца 1,496 * 1011 м

  • 1, 9891
  • 1,66
  • 1,496 * 1011
  • 0,36

Почему числа я записала в две колонки? (в первой группе показатель степени положительный, а во второй – отрицательный)

Что означает Как называются числа 11, 30? (натуральные) Как вы думаете, числа в первой колонке большие или маленькие?

А как определить Как называются числа -9, -27? (целые) Как вы думаете, числа во второй колонке большие или маленькие?

Давайте сформулируем тему урока. (Степень с отрицательным целым показателем)

(слайд 4) Запишем тему урока “Степень с отрицательным целым показателем”.

(слайд 5)

Эпиграфом к нашему уроку я взяла слова М. В. Ломоносова “Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь”. И мы с вами в этом сегодня убедимся.

5. Формирование новых знаний и способов действий

Задание. Выявите закономерность и продолжите ряд ..., , , 1, 10, 100, 1000 ...

(Каждое следующее число в 10 раз больше предыдущего)

Запишите числа через степени числа 10

...(, , , 100, 101, 102, 103...)

Сравните показатели соседних степеней

(Показатель каждой степени на 1 меньше следующего)

Тогда, применяя данную закономерность, давайте запишем ряд чисел влево от единицы, то есть от 100

(...10-3, 10-2, 10-1, 100)

Таким образом, 10-3 = =, 10-2 = = , 10-1 = =

Как вы думаете, степень с отрицательным показателем с любым основанием существует или нет?

(С любым, кроме 0)

У нас раньше было определение степени с натуральным показателем. Что называется степенью с натуральным показателем? Под аn, где n= 2, 3, 4, 5,... понимают произведение n одинаковых множителей, каждым из которых является число а. Выражение аn называют степенью, число а – основанием степени, число n – показателем степени.

Мы говорили с вами про натуральный показатель. Давайте попробуем дать определение степени с целым отрицательным показателем.

Определение (слайд 6)

Если n – натуральное число и а?0, то под а-n понимают

а-n = , а 0

Почему а 0?

Примеры: 

(-3)-4 = =

(-)-3 = = - 8

(слайд 7)

Представим в виде дроби: 3-5, 2-3, 5-2, 3-4

(, = , = , = )

Про данную формулу мы можем сказать, что осуществляем переход от степени к дроби

Данную формулу при необходимости применяют справа налево, например:

(слайд 8)

= 5-1; = 65-1; = 6-1; = 7-2

Здесь мы можем сказать, что осуществляем переход от дроби к степени.

Есть важное тождество, которое часто используется на практике

(слайд 9)

()-n = ()n, в частности, ()-n = n, 0

– Как вы думаете, что можно сказать о числе, зная его порядок? (Насколько большим или маленьким является число. Чем больше порядок числа, тем больше само число. Большой по модулю отрицательный порядок говорит о том, что число маленькое).

(слайд 10)

Вычислить: 4-1 +( )-2 – 2-4

Решение.

1) 4-1 =

2) ( )-2 = ()2 =

3) 2-4 = =

4) + = =

5) - =

Ответ: 2

Историческая справка.

(слайды 11 – 14)

Француз, бакалавр медицины Никола Шюке (15 век) смело ввёл в свою символику не только нулевой, но и отрицательный показатель степени. Он писал его мелким шрифтом сверху и справа от коэффициента.

У француза Рене Декарта в его “Геометрии” (1637) мы находим современное обозначение степеней.

Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616–1703) и Исаака Ньютона. О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил Исаак Ньютон (1643–1727), который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.

В 7 классе мы изучали свойства степени с натуральным показателем. Свойства степени с натуральным показателем (приложение 2)

(на парте у каждого учащегося)

 Свойства степени с целым показателем

Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем (нужно только предполагать, что основание степени не равно нулю). Свойства степени с целым отрицательным показателем (приложение 3)

(Записываем на доске и в тетрадях)

Работа в парах 

Задание. Докажите, что c -2 · c -5 = c -7; с -8 : с -3 = с -5; (с-4)-5 = с20 (указание: степень>дробь)

Решение:

c -2 · c -5 = · = = с -7

с -8 : с -3 = : = · с3 = = = с -5

(с-4) -5 = () -5 = (с4)5 = с20

Сделайте еще раз вывод.

Вывод: Свойства степеней с натуральными показателями сохраняются для отрицательных целых показателей.

Слово степень только ли математическое понятие? В каких словосочетаниях используется слово степень? На дом было дано задание найти, где же используется слово степень? (заслушиваются ответы учащихся)

  • Степень истощения
  • Степень окисления
  • Степень сравнения
  • Степень загрязнения
  • В высшей степени
  • Степень качества
  • Степень точности
  • Степень разрушения
  • Степень усвоения

В конце урока каждый из вас покажет степень усвоения материала урока.

6. Выполнение заданий из задачника

Выполняют в группах

№8.3(в, г) Запишите в виде степени с положительным показателем следующее выражение:

в) (t – s)-3; г)

Решение.

в) (t – s)-3 = = ()3;

г) = (k +)2

№8.14 (в, г) Выполните действия и приведите выражение к виду, не содержащему отрицательных показателей степеней, там, где это необходимо:

в) d · d-2; г) m-5 · m-1

Решение.

в) d · d-2 = d1 + (-2) = d-1 = ;

г) m-5 · m-1 = m-5 + (-1) = m-6 =

№8.16(в) Выполните действия и приведите выражение к виду, не содержащему отрицательных показателей степеней, там, где это необходимо:

m7 : (1m-3)

Решение.

m7 : (1m-3) = ( : 1) · (m7 : m-3) = ( : ) · m7-(-3) = m10

7. Работа с таблицей

Посмотрите на таблицы. Что мы скажем про размеры малых тел? Как они записываются? (степенью с отрицательным показателем)

Что мы скажем про размеры больших тел? Как они записываются? (степенью с положительным показателем) (приложение 4)

8. Самостоятельная работа по теме “Определение степени с целым отрицательным показателем” (приложение 5)

Проверка (раздать готовые решения) (приложение 6)

9. Задания на дом

  • Параграф 8 №8.4(а, б), №8.8, №8.16(а, б)
  • Найти и записать: приставки СИ и множители для образования кратных и дольных единиц
  • Найти задания ОГЭ по математике, модуль “Алгебра”, где применяется степень с натуральным и отрицательным показателем

10. Итоги урока. Рефлексия

Заключительное слово учителя. Сегодня вы ещё раз убедились, что мир степени удивителен. Прав был Ломоносов, сказав, что без них далеко не уедешь.

Достижение личностных результатов.

Ребята, в начале урока вы поставили личностную цель. Просигнализируйте сигнальными карточками, достигли ли вы своей цели. Кто хочет поделиться своими мыслями вслух?

Всем спасибо за работу, молодцы!

Источники информации.

  1. http://pandia.ru/text/78/128/67843.php
  2. https://fs00.infourok.ru/images/doc/171/197145/640/img7.jpg
  3. https://www.google.ru/search?q=%D1%84%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B3%D1
    %80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%B8+%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B5
    +%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B0&newwindow=
    1&hl=ru&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ved=0ahUKEwiG39GdlM7PAh
    VDhywKHYxHD_0QsAQIHQ&biw=1316&bih=926#imgrc=phtOLWui8iZwsM%3A http://im0.kommersant.ru/Issues.photo/CorpUA/2013/12/23/KKI_015319_03961_1_t210_151008.jpg
  4. http://www.famous-mathematicians.com/images/john-wallis.jpg