Урок алгебры на тему "Арифметическая прогрессия". 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Ключевые слова: арифметическая прогрессия

Класс: 9

Учебник: Алгебра: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов и др., М., 2010.

Программа: Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 7 – 9 классы / Сост. Бурмистрова Т. А. Издательство “Просвещение”, М, 2009.

Тип урока: Урок изучения нового.

Вид урока: комбинированный

Учебная задача: Сформулировать определение арифметической прогрессии и вывести все формулы, связанные с этим понятием.

Тип урока: проблемно-развивающий.

Тип обучения: личностно – ориентированный.

Цели урока:

1. Образовательные:

  • Сформулировать определение, свойство и признак арифметической прогрессии;
  • Вывести формулы n - го члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии.

2. Развивающие:

  • Формирование абстрактного мышления;
  • Развитие умения сравнения, проводить аналогию;
  • Развитие гибкости мышления.

3. Воспитательные:

  • Развить умение высказывать свою точку зрения;
  • Развитие умения аргументирования своего высказывания;

Дидактическая единица: определение, теорема.

Познавательные средства: сравнение, аналогия, метод неполной индукции.

Формы обучения:

  1. Индивидуальная (при выводе формул – выборочная проверка);
  2. Фронтальная (при повторении и закреплении);
  3. Коллективная (при формулировании определения, свойства и признака арифметической прогрессии – проверка типа консультации).

Методы обучения:

  1. По источнику получения знаний:
  • Словесный (рассказ учителя);
  • Наглядный (заполнение таблицы);
  • Практический (выполнение упражнений).
  1. По характеру учебной деятельности:
  • Проблемное изложение (выяснить способ вычисления Гаусса);
  • Частично-поисковый (формулы выводятся под руководством учителя).
  1. По дидактическим целям:
  • Метод приобретения знаний.
  1. По содержанию учебного материала:
  • Метод первичного усвоения учебного материала.

Средства обучения: мультимедийный проектор

Структура урока:

  1. Организационный момент – 1 мин.
  2. Активизация прежних знаний – 3 мин.
  3. Изучение нового материала:
    • Постановка проблемы – 2 мин.
    • Решение проблемы – 29 мин.
  1. Закрепление – 5 мин.
  2. Подведение итогов – 3 мин.
  3. Домашнее задание – 2 мин.

Ход урока

1 этап. Активизация прежних знаний.

Учитель: С какими понятиями вы познакомились на предыдущих уроках?

Ученик: Числовые последовательности

Учитель: Приведите пример числовой последовательности

Ученик 1: Последовательность натуральных чисел

Ученик 2: Последовательность четных чисел

Учитель: Какими способами задаются числовые последовательности?

Ученик: Числовая последовательность может быть задана: с помощью перечисления; с помощью формулы “n” - го слагаемого; рекуррентным способом

Учитель: Какие виды числовых последовательностей вам известны?

Ученик: Последовательности бывают: Конечные и бесконечные; Убывающие и возрастающие.

Учитель: Сегодня мы с вами познакомимся еще с одним видом числовой последовательности. Но сначала послушайте следующую историю.

2 этап. Постановка проблемы.

Учитель: Задача. Известный немецкий математик Карл Гаусс в детстве был непоседливым мальчиком, и учитель никак не мог с ним справиться. И вот однажды, чтобы Гаусс успокоился, учитель задал ему задачу: вычислить сумму первых ста натуральных чисел. Буквально через минуту Гаусс дал правильный ответ. Вопрос: чему равна сумма и как Гаусс так быстро ее вычислил?

Учитель: Давайте и мы вычислим искомую сумму. Для этого выпишем слагаемые.

Ученик: 1 + 2 + 3 + …. + 100

Учитель: Что образуют слагаемые?

Ученик: Числовую последовательность

Учитель: Чтобы ответить на вопрос задачи необходимо изучить свойства данной последовательности.

3 этап. Решение проблемы.

Учитель: Попытаемся выделить и сформулировать эти свойства.

Учитель: Итак, как можно получить второй член это последовательности?

Ученик: Чтобы получить второй член последовательности необходимо к первому члену прибавить единицу

Учитель: А третий член?

Ученик: Необходимо ко второму члену прибавить единицу

Учитель: Сформулируем еще раз основные свойства этих слагаемых

Ученик: Они образуют числовую последовательность; Каждый член равен предыдущему, сложенному с некоторым числом

Учитель: Скажите, а первый член последовательности мы можем получить таким образом?

Ученик: Нет, т. к. для него нет предыдущего

Учитель: А некоторое число, которое мы прибавляем, будет одинаковым для всех слагаемых или разным?

Ученик: Одинаковым

Учитель: Тогда уточните свои утверждения

Ученик: Каждый член, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом

Учитель: Последовательность, которая обладает такими чертами и будет называться арифметической прогрессией.

Учитель: Сформулируйте тему урока.

Ученик: Арифметическая прогрессия.

Учитель: Попытайтесь сформулировать определение арифметической прогрессии

Ученик: Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Учитель: Если использовать математическую символику, то определение арифметической прогрессии можно записать в следующем виде.

Записи на доске: a1, a2, …., an - числовая последовательность, где an+1 = an + d

Учитель: Выразите из формулы число “d”

Ученик: d = an+1 - an

Учитель: Число “d” принято называть разностью арифметической прогрессии. Что такое разность арифметической прогрессии?

Ученик: Разностью арифметической прогрессии – это разность между следующим и предыдущим членом арифметической прогрессии.

Учитель: Как вы думаете, почему назвали разностью?

Ученик: Потому что вычисляется с помощью разности.

Учитель: Каким числом может быть разность?

Ученик: Разность может быть любым числом

Учитель: Используя, слагаемые нашей последовательности заполним следующую таблицу:

n an-1 an an+1
         
         
         
         

Ученик: Комментируют заполнение таблицы:

n an-1 an an+1
1 -- -- --- ---
2 1 2 3 2
3 2 3 4 3
4 3 4 5 4

Учитель: Сравните 3 и 5 столбцы. Каковы значения в этих столбцах?

Ученик: Значения в 3 и 5 столбцах совпадают

Учитель: Какое предположение можно сформулировать?

Ученик: Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов

Учитель: Это утверждение является свойством арифметической прогрессии. Запишем формулировку словами и математическими символами

Записи на доске:

Учитель: Как вы думаете, почему прогрессия называется именно арифметической?

Ученик: Потому что члены прогрессии равны среднему арифметическому

Учитель: Попытайтесь сформулировать утверждение, обратное свойству

Ученик: Если в числовой последовательности, каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией

Учитель: Сформулированное утверждение представляет собой признак арифметической прогрессии. Запишите формулировку в тетрадь.

Учитель: Следовательно, как можно доказать что последовательность является арифметической прогрессией?

Ученик: Можно доказать это с помощью определения или с помощью признака

Учитель: Скажите, в условии задачи арифметическая прогрессия каким способом задана?

Ученик: Арифметическая прогрессия задается с помощью перечисления

Учитель: А в определении?

Ученик: Рекуррентным способом

Учитель: Попытаемся теперь вывести формулу “n” - го слагаемого арифметической прогрессии, если известны а1 и d

Учитель: Как вычислить второй член арифметической, если известен первый член и разность арифметической прогрессии

Ученик: К первому члену прибавить разность:

Учитель: Как вычислить третий?

Ученик:

Учитель: Выразите четвертый член через первый член и разность

Ученик:

Учитель: Сравните теперь номер искомого члена и коэффициент, стоящий при разности в полученных формулах

Ученик: Коэффициент при разности на единицу меньше, чем номер искомого члена

Учитель: Как по вашему, мы должны записать формулу “n” - го слагаемого арифметической прогрессии

Ученик: - формула “n” - го слагаемого

Учитель: В исходной задаче требуется найти сумму: 1 + 2 + 3 + .. + 100. Мы выяснили, что слагаемые данной числовой последовательности образуют арифметическую прогрессию.

Учитель: Чему равен первый член?

Ученик: Единице

Учитель: Сколько всего членов?

Ученик: Сто

Учитель: Чему равен последний член?

Ученик: Сто

Учитель: Давайте найдем способ вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии, если известны первый и последний член прогрессии, а также число слагаемых. Этим способом и воспользовался Гаусс для решения задачи.

Учитель совместно с учащимися выводит формулу суммы первых слагаемых арифметической прогрессии

Записи на доске: - формула суммы первых членов арифметической прогрессии

Учитель: Используя выведенную формулу, какой же ответ дал Гаусс своему учителю?

Ученик:

Учитель: Если объединить формулу n – го члена и формулу суммы, то можно получить еще одну формулу вычисления суммы первых слагаемых. В этой формуле используются первый член, разность и количество слагаемых.

Учащиеся выводят еще одну формулу

Записи на доске: - формула суммы первых членов арифметической прогрессии

4 этап. Закрепление.

Учитель: Итак, с каким видом числовых последовательностей вы сегодня познакомились?

Ученик: Арифметическая прогрессия

Учитель: Какая последовательность называется арифметической прогрессией?

Ученик: Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Учитель: Что такое разность арифметической прогрессии?

Ученик: Разностью арифметической прогрессии – это разность между следующим и предыдущим членом арифметической прогрессии.

Записи на доске:

1) 2, 4, 6, 8,…..

2) 5, 6, 8, 3, ….

3) - 1, - 2, - 3, - 4,……

4) 4, 4, 4, 4, …..

Учитель: Среди числовых последовательностей выберите те, которые являются арифметическими прогрессиями, и назовите в них разность.

Ученик 1: Данная числовая последовательность является арифметической прогрессией, т. к. каждый ее член равен предыдущему, сложенному с 2, таким образом, d = 2.

Ученик 2: Эта последовательность не является арифметической прогрессией, т. к. ее члены не равны сумме предыдущего члена с одним и тем же числом.

Ученик 3: Последовательность является арифметической прогрессией, т. к. члены получаются путем сложения предыдущего члена с – 1, т. е. d = -1.

Ученик 4: Последовательность является арифметической прогрессией с разность 0.

Учитель: С помощью какого утверждения можно выяснить, что данная последовательность является арифметической прогрессией?

Ученик: С помощью определения или с помощью признака арифметической прогрессии.

Учитель: Сформулируйте признак арифметической прогрессии

Ученик: Если в числовой последовательности, каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией

Учитель: Каким свойством обладает арифметическая прогрессия?

Ученик: Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов

Учитель: Какими способами можно задать арифметическую прогрессию?

Ученик: С помощью перечисления, рекуррентным способом или с помощью формулы “n”-го члена.

Учитель: Чтобы вычислить сумму первых n членов арифметической прогрессии, какие элементы последовательности необходимо знать?

Ученик: Чтобы вычислить сумму первых n членов арифметической прогрессии необходимо знать первый, n – ный члены и номер или первый член, номер и разность прогрессии.

5 этап. Подведение итогов.

На данном этапе урока выставляются оценки учащимся.

6 этап. Домашнее задание.

Выполнить задания из учебника: 1 уровень - № 371, 2 уровень - № 386, 3 уровень - № 389.