Единица содержания: способ решения различных задач с помощью формул сокращённого умножения.
Цель
обучающий аспект:
- знать формулы сокращённого умножения (познавательные универсальные учебные действия);
- знать способы преобразования выражений с помощью формул сокращённого умножения: разложение на множители, выделение полного квадрата и т.д. (познавательные универсальные учебные действия);
- уметь применять формулы сокращённого умножения при решении различных задач (познавательные универсальные учебные действия);
развивающий аспект:
- развивать математическую речь при презентации результатов работы группы (коммуникативные универсальные учебные действия);
- развивать логическое мышление:
- умение анализировать и синтезировать буквенные выражения (познавательные универсальные учебные действия);
- умение сравнивать, проводить аналогии между математикой и искусством (познавательные универсальные учебные действия);
- развивать умение самостоятельно ставить цель, оценивать свою и чужую работу (регулятивные универсальные учебные действия);
- развивать ассоциативное мышление с помощью мнемонических приёмов (познавательные универсальные учебные действия);
- развивать наглядно-образное мышление при выполнении творческого задания (познавательные универсальные учебные действия);
воспитывающий аспект:
- воспитывать ценностное отношение к учебной деятельности на основе интереса к истории математики, постижения уровней владения ею (личностные универсальные учебные действия);
- воспитывать нравственно-эстетическое отношение к произведениям искусства (личностные универсальные учебные действия);
- воспитывать культуру общения при работе в парах и группах, готовность к оказанию помощи в условиях работы с равной долей участия, а также ответственность и уважительное отношение к одноклассникам (коммуникативные универсальные учебные действия).
Тип урока: урок комплексного применения знаний.
Этапы урока:
- Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности.
- Применение знаний и способов действий.
- Информация о домашнем задании.
- Подведение итогов на рефлексивной основе.
Оборудование и материалы: проектор, документ-камера, презентация, портреты математиков, названия уровней владения математикой, индивидуальные карточки с заданиями, материал для создания экспозиции, плакат “Правила работы в группе”, учебник.
Учебник: Макарычев Ю.Н. Алгебра. 7 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. – М.: Мнемозина, 2013.
Ход урока
Здравствуйте, ребята!
Этап актуализации. (4 мин)
На прошлых уроках, в течение почти двух месяцев, мы проходили с вами очень важную в алгебре тему: “Формулы сокращенного умножения”.
Сегодня у нас один из заключительных уроков по этой теме. Какую цель мы должны поставить перед собой на этом уроке? (Применить полученные знания и умения по теме “Формулы сокращенного умножения” при решении различных задач).
Вспомним, какие формулы сокращенного умножения вы знаете, и как они называются:
,
,
,
,
,
,
.
Я предлагаю вам сегодня применять ваши знания и умения в необычной форме: я приглашаю вас на экскурсию в картинную галерею. Что может быть общего у алгебры и картинной галереи? Думаю, что после нашей экскурсии вы сможете ответить на этот вопрос.
Сразу оговорю критерии получения вами отметки за урок. За выполнение основных заданий урока вы сможете заработать 10 баллов. Критерии вы видите на экране.
Кроме того, вам будут предложены три дополнительных задания, первый, кто с ними справиться, получает 2 балла, остальные справившиеся – 1 балл. Ими вы можете или компенсировать потерянные баллы на основных заданиях, или заработать дополнительную оценку: каждые 2 балла сверх основных 10-ти – это “5”.
Задания вы будете выполнять на специальных цветных карточках, у каждого из вас свой определенный цвет.
Итак, ребята, начнем нашу экскурсию, которая, как и любая экскурсия по картинной галерее, будет проходить по ее тематическим залам. Помогать проводить экскурсию мне будут не привычные нам смотрители залов, а великие математики – знатоки истинного искусства!
Итак, мы входим в картинную галерею!
Этап комплексного применения знаний.
(8 мин) Зал № 1: “Натюрморт”. Экскурсоводом в этом зале, я попросил быть древнегреческого математика Диофанта Александрийского (III век).
Одной из многих выдающихся картин жанра “Натюрморт” является работа известного русского художника XX века Петра Петровича Кончаловского (1876 – 1956) “Сирень в корзине (“героическая”)” (1933, Государственная Третьяковская галерея).
<Рисунок 1>
Воспринимать эту картину легко: мы прекрасно знаем, что на картине изображена сирень, восхищаемся мастерством автора передавать ее краски, воспроизводить красоту сирени.
Какое отношение это имеет к формулам сокращенного умножения? Соотнесите: сирень – формулы сокращенного умножения! (Мы, как художники, прекрасно знаем формулы сокращенного умножения, зачем они нужны в математике, и воспроизводим их при решении задач)
Совершенно верно. Знание формул сокращенного умножения – очень важно для математика. В этом состоит первый, базовый уровень владения математикой – знание и воспроизведение. Не освоив этот уровень нельзя идти дальше.
Давайте воспроизведем, “нарисуем” наши формулы еще раз. Хотя художники не рисуют картины, а пишут их! Напишем и мы. На это вам отводится 2 минуты.
Задание №1. (индивидуально, проверка ответов, записанных на планшетках)
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
.
Давайте посмотрим, что у вас получилось: напишите свои ответы на планшетках и поднимите их так, чтобы я видел. Правильные ответы вы видите на экране. У всех такие ответы?
Молодцы! Поставьте “+” напротив каждого верно выполненного задания.
Теперь пришло время узнать, почему именно Диофант представляет нам этот зал. Вы мало знаете об этом ученом, я вам рассказывал на факультативе только о диофантовых уравнениях – уравнениях в целых числах, но пора узнать о нем больше. А что для вас является главным источником знаний на уроках, не считая учителя? (Учебник)
Но чтобы найти в нем нужную информацию, сам
Диофант предлагает вам решить одну задачу. Ответ
на вопрос: “Почему именно Диофант представляет
нам этот зал?” – спрятан в ответе этой задачи.
Кто первый решит ее, тот поднимает руку. Я с
помощью документ-камеры выведу решение на экран
и, если оно верно, то ученик получит 2
дополнительных балла. Итак, задача: вычислите 
.
Выполнять это задание вы будете на обороте
карточки задания №1.
Ответ: 100. Откройте учебник на странице 100 и прочитайте информацию о Диофанте.
<Рисунок 2>
Диофант рассматривал правила преобразований уравнений, в том числе используя формулы сокращенного умножения.
Так и вы в этих заданиях для вычислений использовали преобразования, основанные на знание вами формул сокращенного умножения.
Ваши результаты показали, что вы знаете и можете воспроизвести формулы сокращенного умножения, мы можем двигаться дальше.
(8 мин) Продолжаем нашу экскурсию по галерее. Следующий зал: абстракционизм. Экскурсоводом в этом зале будет французский математик XVI века Франсуа Виет (1540 – 1603).
Перед вами картина русского художника Василия Васильевича Кандинского (1866 – 1944).
<Рисунок 3>
На первый взгляд на ней изображено непонятно что. А если присмотреться!? Что вы видите?
Можно увидеть соборы, может даже кто-то узнает здесь соборы Московского Кремля, заметит красную брусчатку. Картина называется “Москва. Красная площадь” (1916, Государственная Третьяковская галерея).
А теперь сопоставьте: непонятная картина – непонятное выражение. Какая связь? Что можно увидеть на картине? В выражении? (Узнать в чем-то непонятном что-то известное: заметить полные квадраты, формулу куба суммы или разности, произведение суммы на неполный квадрат разности и так далее)
Молодцы! Умение узнать в каком-либо выражении формулу сокращенного умножения и преобразовать это выражение с помощью этой формулы – это второй уровень владения математикой – узнавание, для достижения этого уровня нужен опыт решения математических задач и некоторая математическая зоркость, или, как я в шутку это называю “метод зоркого енота”. Вот вам задание этого уровня. Для их выполнения я вам даю 2 минуты.
Задание №2. (индивидуально с взаимопроверкой по образцу)
а) Докажите, что многочлен 
не может принимать
отрицательные значения.
б) Решите уравнение: 
.
Время вышло. Проверим ваши решения: обменяйтесь своими карточками и сравните решения с эталонами, которые вы видите на доске. Поставьте “+” напротив каждого верно выполненного задания.
Кто же такой Франсуа Виет? И почему он показывает нам зал “Абстракционизм”? Ответ на этот вопрос вы снова можете найти в своем учебнике, а чтобы узнать где, придется решить задачу от Франсуа Виета. Первый, решивший задачу, получит 2 дополнительных балла.
Итак, задача: Найдите значение выражения 
, если 
.
Выполняйте это задание на обороте карточки
задания №2.
Ответ: 26. Откройте учебник на странице 26 и прочитайте информацию о Франсуа Виете.
<Рисунок 4>
Франсуа Виет обозначал буквами не только неизвестные, как это делал еще Диофант, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин “коэффициенты”, в итоге математика из числовой арифметики превратилась в буквенную, абстрактную алгебру. Это позволило нам записывать формулы сокращенного умножения с помощью букв и расширить возможности их применения.
(8 мин) Переходим в зал №3. Этот зал посвящен плакатно-афишному искусству. Экскурсоводом в этот зал, в свете недавно прошедшего Международного женского дня, я пригласил женщину-математика, француженку Софи Жермен (1776 – 1831), я вам уже как-то упоминал ее имя.
<Рисунок 5>
Думаю, что по этой афише вам точно понятно, о чем здесь пойдет речь. Скажите, в чем заключается метод, который мы называем шуточно “метод Тараса Бульбы”? (К выражению нужно добавить что-то и отнять это, чтобы получить формулу сокращенного умножения)
Это третий уровень математического мастерства – поисковый: чтобы применить формулу сокращенного умножения, нужно еще самому ее найти, получить. Задание этого уровня вы будете выполнять в паре. Правила работы в паре вам хорошо известны, главное – это обсуждать задание так, чтобы не мешать другим. На выполнение вам дается 2 минуты.
Задание №3. (в паре, проверка учителем)
а) Найдите наименьшее значение квадратного
трехчлена 
и укажите 
, при котором оно достигается.
б) Найдите корни уравнения 
.
Время вышло. Я сейчас проверю ваши решения.
Почему же в этом зале проводит экскурсию для
вас Софи Жермен? Ответ прост: она установила один
замечательный факт, который сейчас носит имя
теоремы Софи Жермен: всякое натуральное число
вида 
,
где 
, 
, является
составным. Попробуйте доказать это утверждение,
а как, подскажет вам афиша нашего зала. Первый из
вас, доказавший теорему Софи Жермен, получит 2
дополнительных балла. Доказательство запишите
на обороте карточки задания №3. (Если при
разложении на множители ученик не пояснит, что ни
один из множителей не равен 1, то нужно
сослаться на пример п. а задания №3, где
доказано, что меньший из множителей больше
единицы при 
)
(10 мин) И последний зал нашей картинной галереи, зал №4. Экскурсоводом в этот зал я пригласил хорошо известного вам древнегреческого математика – Евклида (III век до н.э.). В качестве главной экспозиции зала я предлагаю вам картину испанского живописца Сальвадора Дали (1904 – 1989) “Постоянство памяти”, известная также как “Часы” (1931, Музей современного искусства в Нью-Йорке).
<Рисунок 6>
Что мы видим на этой картине? Изображены часы, которые символизируют время. Автор проводит аналогию между течением времени и течением жидкости: часы изображены стекающими с различных предметов. По словам самого Дали написанию картины способствовали аналогии, возникшие у него при виде плавленого сыра.
Приведу слова известного математика и педагога XX века Дьёрдя Пойа: “Возможно, не существует открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни даже, пожалуй, в любой другой области, которые могли бы быть сделаны без аналогии”.
В этом и состоит главное умение истинного математика, высший уровень математического мастерства – творческий: видеть аналогии между несвязанными на первый взгляд понятиями и использовать их для создания нового знания или продукта.
Экскурсовод этого зала Евклид придумал для вас задание такого рода. В чем основная заслуга Евклида? (Написал главный свой труд “Начала”, в котором изложил основы евклидовой геометрии) Вот и мы, следуя Евклиду, постараемся провести аналогию между геометрией и формулами сокращенного умножения: в геометрии квадрат – это фигура, в алгебре квадрат числа – это его вторая степень.
Я предлагаю вам разбиться на три группы, каждой группе будет предложена одна формула сокращенного умножения, а вам из предложенного материала нужно создать геометрическую модель, иллюстрирующую вашу формулу сокращенного умножения. Если вам нужна подсказка, то можете найти ее в вашем учебнике: посмотрите №753, 779. На это задание вам отводится 3 минуты. Правила работы в группе вам хорошо известны, экономьте свое время. Оцениваться работа группы будет по следующим критериям: правильность создания геометрической модели формулы, объяснение модели, аккуратность создания этой модели.
Итак, время вышло. Представитель каждой группы демонстрирует и поясняет работу своей команды. Оценивать работу групп будем по цепочке. Максимум за работу в группе – три балла.
Посчитайте количество набранных вами баллов и поставьте отметку в соответствии с критериями на одной из ваших карточек так, чтобы ее было хорошо видно.
Критерии отметки выводятся на экран.
Этап рефлексии. (5 мин)
Вот и подошла к концу наша экскурсия.
- Какую цель мы ставили сегодня перед собой? (Применить полученные знания и умения по теме “Формулы сокращенного умножения” при решении различных задач.)
- Достигли ли мы своей цели на уроке?
Возьмите степлер и закрепите “свои знания и умения”, показанные на карточках, так чтобы ваша отметка была видна. А затем, с помощью магнита закрепите их на доске около названия того уровня владения математикой, который, как вы считаете, достигли на сегодняшний день.
Уровни владения математикой выводятся на экран.
Каждый из вас получит домашнее задание в соответствии с выбранным уровнем: большая часть его заданий выбранного уровня, а остальные – на уровень выше, чтобы вы могли развивать свое мастерство.
Карточки с разноуровневым домашним заданием выводятся на экран.
Ответьте мне теперь на вопрос: что может быть общего у алгебры и картинной галереи? (Уровни владения математикой и уровни восприятия картин художников одни и те же)
Как же нам постичь все четыре уровня владения математикой? (Много трудиться)
А разве человек не устает, когда много работает?
Он не устает от той работы, которая приносит ему удовольствие! Я хочу напомнить вам, друзья, еще одно применение “метода зоркого енота”, крошки-енота, именно оно и поможет вам получать удовольствие от вашей работы, чем бы вы ни занимались: математикой, экономикой, были бы инженерами, художниками или еще кем-нибудь.
Звучит песня “От улыбки станет всем светлее...”
Улыбайтесь чаще, друзья! Радуйтесь каждой минуте вашей жизни, любите то, чем вы занимаетесь, и всё у вас получится!
Спасибо за урок, до свидания.
(Резерв 2 мин)