Уважаемый участник олимпиады!
Школьная олимпиада по математике проводится в один тур.
Предлагается 5 задач различного уровня сложности.
Никаких особых требований по оформлению работы Вам не предъявляется. Форма изложения решения задач, а также способы решения могут быть любыми. Если у Вас есть какие-либо отдельные соображения по поводу той или иной задачи, но до конца решение Вы довести не можете, не стесняясь, излагайте все свои мысли. Даже частично решенные задачи будут оценены соответствующим числом баллов.
Начинайте решать более легкие на Ваш взгляд задачи, а затем переходите к остальным. Так Вы сэкономите время работы.
Желаем Вам успехов!
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике
5 класс.
Задание 1. В выражении 1*2*3*4*5 замените «*» знаками действий и расставьте скобки так. Чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.
Задание 2. Требуется расшифровать запись арифметического равенства, в котором цифры заменены буквами, причем разные цифры заменены разными буквами, одинаковые – одинаковыми.
ПЯТЬ – ТРИ =ДВА Известно, что вместо буквы А нужно подставить цифру 2.
Задание 3. Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 80 кг гвоздей на две части – 15 кг и 65 кг?
Задание 4. Фигуру, изображенную на рисунке, разрежьте на две равные части так, чтобы в каждой части было по одной звездочке. Разрезать можно только по линиям сетки.
Задание 5. Чашка и блюдце вместе стоят 25 рублей, а 4 чашки и 3 блюдца стоят 88 рублей. Найдите цену чашки и цену блюдца.
6 класс.
Задание 1. Сравните дроби 
, не приводя их к общему знаменателю.
Задание 2. Требуется расшифровать запись арифметического равенства, в котором цифры заменены буквами, причем разные цифры заменены разными буквами, одинаковые – одинаковыми. Предполагается, что исходное равенство верно и записано по обычным правилам арифметики.
ТРУД
+ВОЛЯ
УДАЧА
Задание 3. В летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из следующих фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша – не Герасимов. Отец Володи – инженер. Володя учится в 6 классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова – учитель. Какая фамилия у каждого из трех друзей?
Задание 4. Разделите фигуру по линиям сетки на четыре одинаковые части так чтобы в каждой части оказалось по одной точке.
Задание 5. Попрыгунья стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть – пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?
7 класс.
Задание1. Решите ребус, если известно, что наибольшая цифра в числе СИЛЕН равна 5:
+РЕШИ
ЕСЛИ
СИЛЕН
Задание 2. Решите уравнение│7 – х│ = 9,3
Задание 3.После семи стирок длина, ширина и толщина мыла уменьшились вдвое. На сколько таких же стирок хватит оставшегося мыла?
Задание 4. Прямоугольник 4 × 9 клеток разделите по сторонам клеток на две равные части так, чтобы из них затем можно было составить квадрат.
Задание 5. Деревянный куб покрасили белой краской со всех сторон, а затем распилили на 64 одинаковых кубика. Сколько кубиков оказалось окрашенными с трёх сторон? С двух сторон?
С одной стороны? Сколько кубиков не окрашено?
8 класс.
Задание 1. Какими двумя цифрами заканчивается число 13!
Задание 2. Сократите дробь: 
Задание 3. Школьный драмкружок, готовясь к постановке отрывка сказки А.С. Пушкина о царе Салтане, решил распределить роли между участниками.
– Я буду Черномором, – сказал Юра.
– Нет, Черномором буду я, – заявил Коля.
– Ладно, – уступил ему Юра, – я могу сыграть Гвидона.
– Ну, я могу стать Салтаном, – тоже проявил уступчивость Коля.
– Я же согласен быть только Гвидоном! – произнес Миша.
Желания мальчиков были удовлетворены. Как распределились роли?
Задание 4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ = 8м проведена медиана АD. Периметр треугольника АСD больше периметра треугольника АВD на 2м. Найти АС.
Задание 5. Николай купил общую тетрадь в 96 листов и пронумеровал страницы от 1 до 192. Племянник Артур вырвал из этой тетради 35 листов и сложил все 70 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 2010.
9 класс.
Задание 1. Найдите последнюю цифру числа 19891989.
Задание 2. Сумма корней некоторого квадратного уравнения равна 1, а сумма их квадратов равна 2. Чему равна сумма их кубов?
Задание 3. По трём медианам ma, mb и mc ∆ АВС найти длину стороны АС = b.
Задание 4. Сократите дробь 
.
Задание 5. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «камзол»?
10 класс.
Задание 1. В настоящее время есть монеты 1, 2, 5, 10 рублей. Укажите все денежные суммы, которые можно уплатить как четным, так и нечетным числом монет.
Задание 2. Докажите, что 5 + 52 + 53 + … + 52010 делится на 6.
Задание 3. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке М. Известно, что АМ = 1,
ВМ = 2, СМ = 4. При каких значениях DM четырехугольник ABCDявляется трапецией?
Задание 4. Решите систему уравнений 
Задание 5. Тридцать школьников – десятиклассников и одиннадцатиклассников – обменялись рукопожатиями. При этом оказалось, что каждый десятиклассник пожал руку восьми одиннадцатиклассникам, а каждый одиннадцатиклассник подал руку семи десятиклассникам. Сколько было десятиклассников и сколько одиннадцатиклассников?