Полезные формулы:

Если величину x увеличить на p процентов, получим x ·
Если величину x уменьшить на p процентов, получим x ·
Если величину x увеличить на  p процентов, а затем уменьшить на  g% , получим x ·;
Если величину x дважды увеличить на p  процентов, получим x· ;
Если величину x дважды уменьшить на p  процентов, получим x· ;

Воспользуемся этими формулами для решения задач.

I.

1. В двух сараях сложено сено. В первом в 3 раза больше, чем во втором. После того как из первого сарая взяли 20 т сена, а во второй добавили 20т, оказалось, что во втором сарае масса сена равна 5/7 массы сена, оставшегося в первом сарае. Сколько тонн сена было первоначально во втором сарае?

Решение. Пусть во 2 сарае x т сена, тогда в первом сарае 3x т сена. После всех перемещений сена в первом сарае стало (3х – 20) т сена, а во 2 (х + 20) т сена. По условию задачи х + 20 = , откуда х = 30. Итак, во втором сарае было первоначально 30 т сена.

Ответ: 30т.

2. С двух участков ежегодно собиралось 500т пшеницы. После проведения агротехнических мероприятий урожай на 1 участке увеличился на 30%, а на 2 – на20%. Поэтому с двух участков собрали 630 т пшеницы. Сколько пшеницы собирали с 1 участка первоначально?

Решение. Пусть с первого участка собирали х т пшеницы, тогда со второго – (500 – х) т. После проведения агротехнических мероприятий с  первого  участка стали собирать 1,3х т пшеницы, а со  второго – 1,2(500 – х) т. С двух участков стали собирать
(1,3х + 1,2(500–х)), что по условию задачи составляет 630 т. Составим и решим уравнение.
1,3х + 1,2(500 – х) = 630;
х = 300.
Т.о., с 1 участка до проведения агротехнических мероприятий собирали 300 т пшеницы.

Ответ: 300.

3. В 2008 году в городском квартале проживало 40 000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году – на 9 % по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Решение. По условию, в 2009 году число жителей выросло на 8 %, то есть стало равно 40 000 ^. 1,08 = 43 200 человек, в 2010 году число жителей выросло на 9 %, теперь уже по сравнению с 2009 годом. Получаем, что в 2010 году в квартале стало проживать 40 000 · 1,08 =  47 0888 жителей.

Ответ: 47 088 человек.

4. Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число % сумму, имеющуюся на вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма, если за два года она возросла с 2000 до 2420 рублей?
Решение. Пусть ежегодно имеющаяся на счете сумма увеличивается на х %. В первый раз за 100% мы должны принять сумму, имеющуюся на счете к началу первого года, то есть 2000 рублей. Тогда через год на счете окажется  · 2000 рублей, то есть (2000 + 20 х) рублей. Для расчета процентов за второй год мы должны принять за 100% уже сумму, имеющуюся на счете к началу второго года, то есть (2000 + 20х) рублей. Тогда
по прошествии второго года на счете окажется   ^. (2000 + 20x) рублей.
То есть (0,2 ^. x² + 40 х + 2000) рублей, что по условию задачи составляет 2420 рублей. Составим уравнение
0,2 ^. x² + 40 х + 2000 х = 2420;
0,2 ^. x² + 40 х – 420 = 0
х = – 210 или х = 10.
Так как по условию задачи значения х должны быть положительными, то х = 10. Итак, ежегодно сумма вклада увеличивалась на 10 %.

Ответ: 10.

II. Задача на вычисление стоимости акций

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Решение: Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили х руб. К вечеру понедельника они подорожали на р % и стали стоить
х .

Теперь уже эта величина принимается за 100 %, и к вечеру вторника акции подешевели на р % по сравнению с этой величиной. Соберем данные в таблицу:

По условию, в итоге акции подешевели на 4%. Получаем, что х  = х.
Поделив обе части уравнения на х (ведь он не равен нулю) и применив в левой части формулу разности квадратов, получим:
 = ; 1 –  =   = ;
Находим:  p₁ = 20, p₂ = - 20.
По смыслу задачи, р > 0 Получаем, что р = 20.

Ответ: 20 %.

III. Задачи на сложные проценты

1. Цена первого товара повысилась на 30%, а потом – еще на 5 %. Цена второго повысилась на  25 %. После повышения цены товаров сравнялись. Найдите, на сколько процентов первоначальная цена второго товара была больше первоначальной цены первого товара?

Решение: Пусть х руб. цена первого товара, а у руб. цена второго товара, тогда:
       +30%             +5%
1) I товар   х ––> 1,3 х ––>  1,365х руб. – цена первого товара 0,3х после всех наценок.
                  + 25 %

2) II товар у ––> 1,25у руб. – цена второго товара после наценки.
0,25у

3) По условию задачи цены товаров стали равными. Отсюда получаем уравнение:
1,365х = 1,25у,
1,365х –  1,25у = 0,
1,25( 1,092х – у) = 0,
у = 1,092х;

4)   х – 100%
                 1,092х –?
? = 109,2 %;
5) 109,25 – 100% = 9,2%.
Ответ:  9,2%.

2. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если выставленный на продажу за 20000 руб., через два года был продан за 15842 руб.

Решение: Холодильник стоил 20000 рублей. Его цена два раза уменьшалась на р %, и теперь она равна

20000= 15842,
                               
= ,
= ,
= ,
р = 11.

Ответ: 11%.

3. Зарплата сотрудника составляла 10000р. Зарплату повысили на несколько процентов, а через некоторое время повысили еще на столько же процентов. Теперь зарплата сотрудника составляет 14400 р. На сколько процентов повышали зарплату каждый раз.

Решение. Пусть зарплату повышали оба раза на р %. Тогда после первого повышения зарплата составила 10000· а после второго – 10000· что составляет 14400 р. Составим уравнение:

10000·
Учитывая, что выражение в скобках положительное, имеем: 1+= 1,2, откуда р = 20, то есть зарплату повышали оба раза на 20 %.

Ответ: 20%.

4. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки ?

Решение: Пусть стоимость рубашки равна х рублей, стоимость куртки у рублей. Как всегда примем за 100% ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет 92% от цены куртки, то есть 4х = 0,92у. Стоимость одной рубашки – в 4 раза меньше: х = 0,23у, а стоимость пяти рубашек;

5х = 1, 15у
    => у = 115%.       

Получили, что пять рубашек на 15% дороже куртки.

Ответ: 15%.

5. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%.Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение: Пусть доход семьи а руб., заплата мужа х руб., а стипендия дочери z руб.

1)  а – 100%
(х + а) – 167%,
167а = 100 (х + а),
167а = 100х + 100а,
67а = 100х,
х = 0, 67а.

2) а – 100%,
0,67 а – процент зарплаты мужа:

3) (а –
а – 100%,
96а = 100а –
4а =
z=

4) а – 100%,

 

Процент стипендии дочери: ·
Зарплата жены 100 – 667 = 27 %.

Ответ: 27%.

Другой способ решения. Составим таблицу 2, отражающую ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась») назовем «ситуация А» и « ситуация В».

Запишем систему уравнений:

Возьмем первое уравнение и вычтем из обеих его частей сумму (x + y + z).
Получим: х = 0,67 (x + y + z)
Это значит, что зарплата мужа составляет 67 % от общего дохода семьи.
В третьем уравнении тоже вычтем из обеих частей выражения (x + y + z), упростим его и получим, что z = 0,06 (x + y + z).
Значит, стипендия дочки составляет 6% от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет 27% общего дохода.

Ответ: 27 %.

IV.

1. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон – 42000 рублей, Гоша – 0, 12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 руб. причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Решение:

1) Митя внес 200000·0,14 = 28000 руб.,
2) Антон – 42000 рублей,
3) Гоша – 200000· 0,12 = 24000 руб.
4) Борис – 200000 – (28000 + 42000 + 24000) = 106000 руб
Доля прибыли каждого учредителя:
Мити – 14%;
Антона –
Гоши – 12%;
Бориса – 100 – (14 + 12 +21) = 53  %.
Борис получил 1000 000 · 53/ 100 = 530000 руб.

Ответ: 530000 руб.

2. Бизнесмен Коржов получил в 2000 году прибыль в размере 1300000 руб. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 20% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Коржов за 2004 год?
Решение: При повышении некоторой величины несколько раз на одно ито же число процентов пользуемся формулой:x· , где х – первоначальная величина; р – количество процентов, составляющих изменение величины;
n – количество увеличений.
Применив эту формулу к условию задачи, получим:
 = 1300000 ^. (1,2)¹ = 1300000 ^. 1, 44 ^. 1, 44 = 130 ^. 1 44 ^. 1 44 = 2695680.

Ответ: 2695680 руб.

V. Задачи на концентрацию растворов и сплавы

Концентрация – количество вещества, содержащееся в единице массы раствора, смеси, сплава (доля чистого вещества в смеси). Объем всего раствора принимается за 100% (или за 1). Например, пятипроцентный раствор соли – в этом растворе 55 (или 0,05) чистой соли, а 95% (0,95) приходится на воду, с которой смешали чистую соль.
В задачах этого типа присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составить уравнение:

• концентрация (доля чистого вещества в смеси);
• количество чистого вещества в смеси (или в сплаве);
• масса смеси (сплава).
• Формула для решения задач:

Задачи

Задачи для самостоятельной работы.

I. В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 36% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг? [60%]
II. В среду акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в четверг подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 64 % дешевле, чем при открытии торгов в среду. [80%]
III. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если выставленный на продажу за 20800 руб., через 2 года был продан за 18772 руб. [5%]
IV. Дима, Артем, Гриша и Вова учредили компанию с уставным капиталом 150000 рублей. Дима  внес 17% уставного капитала, Артем – 50000 рублей, Гриша – 0, 24 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Вова. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 900000 руб. причитается Вове? Ответ дайте в рублях. [231000 руб]
V.1 В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 36% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?[60%]
V. 2 Бизнесмен Ватрушкин получил в 2000 году прибыль в размере 1400000 руб. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на20% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Ватрушкин за 2004год? [23903040 руб]