Полезные формулы:
Если величину x увеличить на p процентов, получим x ·
Если величину x уменьшить на p процентов, получим x ·
Если величину x увеличить на p процентов, а затем уменьшить на g% , получим x ·
;
Если величину x дважды увеличить на p процентов, получим x· 
;
Если величину x дважды уменьшить на p процентов, получим x· 
;
Воспользуемся этими формулами для решения задач.
I.
1. В двух сараях сложено сено. В первом в 3 раза больше, чем во втором. После того как из первого сарая взяли 20 т сена, а во второй добавили 20т, оказалось, что во втором сарае масса сена равна 5/7 массы сена, оставшегося в первом сарае. Сколько тонн сена было первоначально во втором сарае?
Решение. Пусть во 2 сарае x т сена, тогда в первом сарае 3x т сена. После всех перемещений сена в первом сарае стало (3х – 20) т сена, а во 2 (х + 20) т сена. По условию задачи х + 20 = 
, откуда х = 30. Итак, во втором сарае было первоначально 30 т сена.
Ответ: 30т.
2. С двух участков ежегодно собиралось 500т пшеницы. После проведения агротехнических мероприятий урожай на 1 участке увеличился на 30%, а на 2 – на20%. Поэтому с двух участков собрали 630 т пшеницы. Сколько пшеницы собирали с 1 участка первоначально?
Решение. Пусть с первого участка собирали х т пшеницы, тогда со второго – (500 – х) т. После проведения агротехнических мероприятий с первого участка стали собирать 1,3х т пшеницы, а со второго – 1,2(500 – х) т. С двух участков стали собирать
(1,3х + 1,2(500–х)), что по условию задачи составляет 630 т. Составим и решим уравнение.
1,3х + 1,2(500 – х) = 630;
х = 300.
Т.о., с 1 участка до проведения агротехнических мероприятий собирали 300 т пшеницы.
Ответ: 300.
3. В 2008 году в городском квартале проживало 40 000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году – на 9 % по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
Решение. По условию, в 2009 году число жителей выросло на 8 %, то есть стало равно 40 000 . 1,08 = 43 200 человек, в 2010 году число жителей выросло на 9 %, теперь уже по сравнению с 2009 годом. Получаем, что в 2010 году в квартале стало проживать 40 000 · 1,08 = 47 0888 жителей.
Ответ: 47 088 человек.
4. Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число % сумму, имеющуюся на вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма, если за два года она возросла с 2000 до 2420 рублей?
Решение. Пусть ежегодно имеющаяся на счете сумма увеличивается на х %. В первый раз за 100% мы должны принять сумму, имеющуюся на счете к началу первого года, то есть 2000 рублей. Тогда через год на счете окажется 
· 2000 рублей, то есть (2000 + 20 х) рублей. Для расчета процентов за второй год мы должны принять за 100% уже сумму, имеющуюся на счете к началу второго года, то есть (2000 + 20х) рублей. Тогда
по прошествии второго года на счете окажется 
. (2000 + 20x) рублей.
То есть (0,2 . x2 + 40 х + 2000) рублей, что по условию задачи составляет 2420 рублей. Составим уравнение
0,2 . x2 + 40 х + 2000 х = 2420;
0,2 . x2 + 40 х – 420 = 0
х = – 210 или х = 10.
Так как по условию задачи значения х должны быть положительными, то х = 10. Итак, ежегодно сумма вклада увеличивалась на 10 %.
Ответ: 10.
II. Задача на вычисление стоимости акций
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Решение: Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили х руб. К вечеру понедельника они подорожали на р % и стали стоить
х 
.
Теперь уже эта величина принимается за 100 %, и к вечеру вторника акции подешевели на р % по сравнению с этой величиной. Соберем данные в таблицу:
|
Понедельник, утро |
Понедельник, вечер |
Вторник, вечер |
Стоимость акций |
х |
х |
х |
По условию, в итоге акции подешевели на 4%. Получаем, что х 
= х
.
Поделив обе части уравнения на х (ведь он не равен нулю) и применив в левой части формулу разности квадратов, получим:
= 
; 1 – 
= 
= 
;
Находим: p1 = 20, p2 = - 20.
По смыслу задачи, р > 0 Получаем, что р = 20.
Ответ: 20 %.
III. Задачи на сложные проценты
1. Цена первого товара повысилась на 30%, а потом – еще на 5 %. Цена второго повысилась на 25 %. После повышения цены товаров сравнялись. Найдите, на сколько процентов первоначальная цена второго товара была больше первоначальной цены первого товара?
Решение: Пусть х руб. цена первого товара, а у руб. цена второго товара, тогда:
+30% +5%
1) I товар х ––> 1,3 х ––> 1,365х руб. – цена первого товара 0,3х после всех наценок.
+ 25 %
2) II товар у ––> 1,25у руб. – цена второго товара после наценки.
0,25у
3) По условию задачи цены товаров стали равными. Отсюда получаем уравнение:
1,365х = 1,25у,
1,365х – 1,25у = 0,
1,25( 1,092х – у) = 0,
у = 1,092х;
4) х – 100%
1,092х –?
?
= 109,2 %;
5) 109,25 – 100% = 9,2%.
Ответ: 9,2%.
2. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если выставленный на продажу за 20000 руб., через два года был продан за 15842 руб.
Решение: Холодильник стоил 20000 рублей. Его цена два раза уменьшалась на р %, и теперь она равна
20000
= 15842,
,
,
=
,
р = 11.
Ответ: 11%.
3. Зарплата сотрудника составляла 10000р. Зарплату повысили на несколько процентов, а через некоторое время повысили еще на столько же процентов. Теперь зарплата сотрудника составляет 14400 р. На сколько процентов повышали зарплату каждый раз.
Решение. Пусть зарплату повышали оба раза на р %. Тогда после первого повышения зарплата составила 10000·
а после второго – 10000·
что составляет 14400 р. Составим уравнение:
10000·
Учитывая, что выражение в скобках положительное, имеем: 1+
= 1,2, откуда р = 20, то есть зарплату повышали оба раза на 20 %.
Ответ: 20%.
4. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки ?
Решение: Пусть стоимость рубашки равна х рублей, стоимость куртки у рублей. Как всегда примем за 100% ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет 92% от цены куртки, то есть 4х = 0,92у. Стоимость одной рубашки – в 4 раза меньше: х = 0,23у, а стоимость пяти рубашек;
5х = 1, 15у
=> у = 115%.
Получили, что пять рубашек на 15% дороже куртки.
Ответ: 15%.
5. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%.Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение: Пусть доход семьи а руб., заплата мужа х руб., а стипендия дочери z руб.
1) а – 100%
(х + а) – 167%,
167а = 100 (х + а),
167а = 100х + 100а,
67а = 100х,
х = 0, 67а.2) а – 100%,
0,67 а – процент зарплаты мужа:3) (а –
а – 100%,
96а = 100а –
4а =
z=
4) а – 100%,
Процент стипендии дочери: 
·
Зарплата жены 100 – 667 = 27 %.
Ответ: 27%.
Другой способ решения. Составим таблицу 2, отражающую ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась») назовем «ситуация А» и « ситуация В».
|
муж |
Жена |
Дочь |
Общий доход |
В реальности |
х |
у |
z |
x + y + z |
«ситуация А» |
2х |
у |
z |
1,67 (x + y + z) |
«ситуация В» |
х |
у |
|
0,96 (x + y + z) |
Запишем систему уравнений:
Возьмем первое уравнение и вычтем из обеих его частей сумму (x + y + z).
Получим: х = 0,67 (x + y + z)
Это значит, что зарплата мужа составляет 67 % от общего дохода семьи.
В третьем уравнении тоже вычтем из обеих частей выражения (x + y + z), упростим его и получим, что z = 0,06 (x + y + z).
Значит, стипендия дочки составляет 6% от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет 27% общего дохода.
Ответ: 27 %.
IV.
1. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон – 42000 рублей, Гоша – 0, 12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 руб. причитается Борису? Ответ дайте в рублях.
Решение:
1) Митя внес 200000·0,14 = 28000 руб.,
2) Антон – 42000 рублей,
3) Гоша – 200000· 0,12 = 24000 руб.
4) Борис – 200000 – (28000 + 42000 + 24000) = 106000 руб
Доля прибыли каждого учредителя:
Мити – 14%;
Антона – 
Гоши – 12%;
Бориса – 100 – (14 + 12 +21) = 53 %.
Борис получил 1000 000 · 53/ 100 = 530000 руб.
Ответ: 530000 руб.
2. Бизнесмен Коржов получил в 2000 году прибыль в размере 1300000 руб. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 20% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Коржов за 2004 год?
Решение: При повышении некоторой величины несколько раз на одно ито же число процентов пользуемся формулой:x· 
, где х – первоначальная величина; р – количество процентов, составляющих изменение величины;
n – количество увеличений.
Применив эту формулу к условию задачи, получим:
= 1300000 . (1,2)1 = 1300000 . 1, 44 . 1, 44 = 130 . 1 44 . 1 44 = 2695680.
Ответ: 2695680 руб.
V. Задачи на концентрацию растворов и сплавы
Концентрация – количество вещества, содержащееся в единице массы раствора, смеси, сплава (доля чистого вещества в смеси). Объем всего раствора принимается за 100% (или за 1). Например, пятипроцентный раствор соли – в этом растворе 55 (или 0,05) чистой соли, а 95% (0,95) приходится на воду, с которой смешали чистую соль.
В задачах этого типа присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составить уравнение:
- концентрация (доля чистого вещества в смеси);
- количество чистого вещества в смеси (или в сплаве);
- масса смеси (сплава).
- Формула для решения задач:
Масса вещества x концентрацию = чистое вещество |
Задачи для самостоятельной работы.
I. В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 36% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг? [60%]
II. В среду акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в четверг подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 64 % дешевле, чем при открытии торгов в среду. [80%]
III. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если выставленный на продажу за 20800 руб., через 2 года был продан за 18772 руб. [5%]
IV. Дима, Артем, Гриша и Вова учредили компанию с уставным капиталом 150000 рублей. Дима внес 17% уставного капитала, Артем – 50000 рублей, Гриша – 0, 24 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Вова. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 900000 руб. причитается Вове? Ответ дайте в рублях. [231000 руб]
V.1 В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 36% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?[60%]
V. 2 Бизнесмен Ватрушкин получил в 2000 году прибыль в размере 1400000 руб. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на20% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Ватрушкин за 2004год? [23903040 руб]