«Хороший учитель обязан понимать, что никакую задачу нельзя исчерпать до конца. Этот взгляд он должен прививать и своим ученикам».
Д. Пойа.
Введение.
Особое внимание я уделяю текстовым задачам на проценты, которые часто встречаются в практике вступительных экзаменов в экономические вузы, но недостаточно полно рассматриваются в школе. Умение выполнять процентные вычисления, − безусловно, одна из самых необходимых математических компетенций. Однако не только те, кто уже давно окончили школу, робеют при виде процентов. Даже на ЕГЭ решаемость задач на проценты не превышает 20 % . Это говорит о том, что такого типа задачи следует решать не только в младших классах, где изучается эта тема, но и на протяжении всех лет обучения в школе.
1. При решении задач на проценты используются основные формулы:
1% числа а равен а.
р% от числа а равно а.
Если известно, что некоторое число а составляет р% от х, то х можно найти из пропорции
а − р%
х − 100%,
откуда х= а.
Пусть имеются числа a, b, причем а<b. Тогда
Число b больше числа а на100%.
Число а меньше числаbна100%.
2. Формула сложных процентов.
Если на вклад положена сумма а денежных единиц, банк начисляет р% годовых, то через n лет сумма на вкладе составит
aден.ед.
3. Задачи на проценты.
Задача 1.
Умных людей на 45 % меньше, чем красивых, 36% умных обладают красивой внешностью. Каков процент умных людей среди красивых?
Решение: пусть х − количество красивых людей, тогда количество умных людей:
х − 0,45х = 0,55х.
Среди умных 36% составляют красивые люди, следовательно, количество умных и одновременно красивых людей:
0,36 ·0,55х= 0,198х.
Составим пропорцию:
х − 100%
0,198х − а%.
Отсюда получим:
а = 19,8%.
Ответ: 19,8%
Учащиеся с интересом решают текстовые задачи на проценты, которые ближе к реальной жизни. Особый «прикол» представляет собой подача задач не из задачника, а прямо с газетной полосы. Тут уж не возникает мыслей о ненужности математики. А «процентная журналистика» в связи с разразившимся экономическим кризисом на страницах газет буквально процветает.
Задача 2.
Цены на путевки уже подросли: например, туры во Францию − на 20%. Можно ли сказать, на сколько процентов раньше тур во Францию был дешевле?
Решение: пусть х − старая цена, а n − новая цена.
1) Составим первую пропорцию:
х − 100%
n − 120%,
Получим n=1,2х.
2) Составим вторую пропорцию:
1,2х − 100%
х − (100-а%)
(100-а) 1,2х = 100х
Решив уравнение, получим: а ≈17%.
Ответ:17%.
4. Использование формулы сложных процентов.
Задача 3.
На банковский счет было положено 10 тыс. руб. После того, как деньги пролежали один год, со счета сняли 1 тыс. руб. Еще через год на счету стало 11 тыс. руб. Определите, какой процент годовых начисляет банк.
Решение: пусть банк начисляет р% годовых.
1) Сумма в 10000 рублей, положенная на банковский под р% годовых, через год возрастет до величины
10000+
2) Когда со счета снимут 1000 руб., там останется 9000+100р руб.
3) Еще через год последняя величина за счет начисления процентов возрастет до величины
9000+100р+
По условию эта величина равна 11000:
Решив это уравнение получим: =10, =−200 − отрицательный корень не подходит.
Ответ:10%
Задача 4. (ЕГЭ-2015)
Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накоплена сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?
Решение: от суммы вклада ситуация не изменится. Положим в банк 4 рубля (делится на 4). Через год сумма на счету увеличится ровно в p раз и станет равной (4p) рублей.
Поделим её на 4 части, унесём домой (p) рублей, оставим в банке (3p) рублей.
Известно, что к концу следующего года в банке оказалось 4·1,44 = 5,76 рублей. Итак, число (3p) превратилось в число (5,76). Во сколько раз оно увеличилось?
Таким образом, найден второй повышающий коэффициент k банка.
Интересно, что произведение обоих коэффициентов равно 1,92:
Из условия следует, что второй коэффициент на 0,4 больше первого.
Избавившись от запятых, сделаем замену t = 10р:
Из такого уравнения получить 12 совсем просто.
Итак, p = 1,2, k = 1,6.
В 1,2 раза увеличилась сумма вклада первый раз, в 1,6 раз - во второй раз.
Было 100%, стало 160%. Новый процент годовых равен 160%-100% = 60%.
Ответ: 60%.
Задача 5. (ЕГЭ-2015)
В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что
размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%.
Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?
Решение: пусть х рублей – вкладчик ежегодно добавлял ко вкладу.
50% годовых означает, что каждый год сумма на счету вкладчика увеличивается в 1,5 раза. Если вкладчик ничего бы не добавлял к первоначальной сумме, то через год на его счету было бы 3900·1,5, через два года - 3900·1,52 и так далее.
Посчитаем, какой доход принесли все четыре добавки.
х∙1,54 + х∙1,53 + х∙1,52 +х∙1,5
Для этого вынесем х за скобку и вычислим сумму геометрической прогрессии, в которой b = 1,5 и q = 1,5.
Известно, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%.
Это значит, что он стал составлять 825% от начального, т.е. увеличился в 8,25 раз.
Сумма всех слагаемых последнего столбика в 8,25 раз больше, чем 3900 тыс.руб.
Ответ: 210 тысяч рублей.
5. Литература.
- С.Я. Криволапов. Пособие по математике для абитуриентов. М., 2004.
- Математика в школе. №6, 2009.
- Типовые варианты ЕГЭ-2015.