Урок по теме "Объем конуса"

Разделы: Математика

Цели урока: вывести формулу вычисления объема конуса и научиться применять ее при решении задач

Задачи:

  • Образовательные: познакомить с выводом формулы объема конуса и научить применять формулу при решении задач.
  • Развивающие: развивать умения логически мыслить, аргументировать, доказывать, конкретизировать знания при использовании формул.
  • Воспитательные: продолжить развитие навыков самоконтроля и умения работать во времени при выполнении самостоятельной работы.

Тип урока: урок изучение нового материала

Оборудование:  ноутбук, мультимедийный проектор, презентация по теме, модели пространственных тел, модели конусов для измерений, карточки-задания для самостоятельной работы.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

– Добрый день! Звучит эпиграф к уроку: «Искра знаний возгорится в том, кто достигнет понимания собственными силами». Бхаскара (индийский математик XII века).
 
II. Актуализация знаний учащихся

Теоретический опрос.

Повторить понятия конуса.

Презентация. Слайд 2

1. Рассмотрим окружность L с центром в точке О и прямую ОР, перпендикулярную плоскость . Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой Р. поверхность образованная этими отрезками, называется … (рис 1). /конической поверхностью/

Слайды 3-4

2. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом, называется … /конус/

Слайд 5

3. Чему равна площадь круга?

4. Вспомним, как  найти площадь круга, зная диаметр?

Слайд 6

7. Вы­со­та ко­ну­са равна 8, а диа­метр ос­но­ва­ния — 30. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Решение:    

8. Диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6, а длина об­ра­зу­ю­щей — 5. Най­ди­те вы­со­ту ко­ну­са.

Решение:

III. Изучение нового материала

Слайд 7

Теорема: Объем конуса равен одной трети произведения и площади основания на высоту.

 

Слайд 8

Доказательство:

Данный конус можно рассматривать
как тело, полученное вращением
прямоугольного треугольника с вершиной
в точках О(0; 0), В(Н, 0), А(Н, R) вокруг
Ох. Уравнение прямой ОА имеет вид:
, где .
Треугольник ОАВ является частным видом криволинейной трапеции, которая ограничена осью абсцисс графиком функции  и прямой .
Поэтому объем конуса можно найти с помощью формулы (1), то есть
.
Площадь основания конуса равна , поэтому   .
Теорема доказана.

Слайд 9

Следствие:Объем усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле:

IV. Закрепление изученного материала

1. Решить устно задачи с целью закрепления формул для вычисления объемов конуса и усеченного конуса.

Слайд 10

№ 1. Вычислите объем  конуса, если его высота 6 см, а площадь основания 42 см2. /84см3/

Решение:

№ 2. Объем  конуса с радиусом основания 4м и высотой 6 м равен.  /32 πм2/

№ 3. Найдите площадь основания конуса, если его объем равен  256 см3, а высота 4 м.  /192см2/



№ 4. Вычислите объем усеченного конуса, высота которого 3 см, а площадь основания 16 см2 и 4 см2. /28 см3/

Самостоятельное решение задач в парах.  Попробуем применить полученные знания.

Задачи из ЕГЭ (базового и профильного уровня). Один из учеников решает у доски задания своего варианта.

1 уровень 1 вариант

  1. Образующая конуса 6, а высота 3. Найдите объем конуса. В ответе укажите.
  2. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его высоту увеличить в 4 раза, оставив неизменным основание?
  3. Цилиндр и конус имеют общие основания и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.
  4. Высота конуса равна 8, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на π.
  5. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 60°.

1 уровень 2 вариант

  1. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите.
  2. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза, оставив неизменным основание?
  3. Ци­линдр и конус имеют общее ос­но­ва­ние и общую вы­со­ту. Вы­чис­ли­те объем ци­лин­дра, если объем ко­ну­са равен 25.

  4. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на π.
  5. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 60°. Вычислите объем конуса, деленный на π√3.

2 уровень 1 вариант

  1. Конус вписан шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 32. Найдите объем конуса
  2. Образующая конуса равна 5 и составляет с плоскостью основания угол, косинус которого равна . Найдите объем V конуса. В ответе укажите .
  3. Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна 12√2. Найдите объем V конуса. В ответе укажите  .
  4. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  высоты. Объем сосуда 270 мл. Чему равен объем налитой жидкости?

2 уровень 2 вариант

  1. Конус вписан шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 5. Найдите объем конуса
  2. Образующая конуса равна 13 и составляет с плоскостью основания угол, косинус которого равна . Найдите объем V конуса. В ответе укажите
  3. Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна 36. Найдите объем V конуса. В ответе укажите  .
  4. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  высоты. Объем сосуда 540 мл. Чему равен объем налитой жидкости?

V. Подведение итогов

– Как найти объем усеченного конуса?
– Отметим, что формула объема усеченного конуса такая же, как и формула объема усеченной пирамиды.

Домашнее задание п. 70 № 701, 704, 709 и задачи рабочих тетрадях проект «Я сдам ЕГЭ».

Литература:

  1. Геометрия 10-11: учеб. Общеобразовательных учреждений: базовый и профл. Уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др./ – 16-е изд. – М.: Просвещение, 2007 – 256 с.
  2. Поурочные разработки по геометрии 11 класс. /Сост. В. А. Яровенко. – М.:ВАКО, 2011 – 336 с.
  3. Я сдам ЕГЭ! Модульный курс. Математика. Методика подготовки: учебное пособие для общеобразовательных организаций: базовый уровень – М.: Просвещение, 2016 – 272 с.
  4. Я сдам ЕГЭ! Модульный курс. Математика. Методика подготовки: учебное пособие для общеобразовательных организаций: профильный уровень – М.: Просвещение, 2016 – 240 с.

Приложение 1