Решение показательных уравнений

Тип урока: урок изучения новой темы.

Класс: 11 класс.

Продолжительность урока: 2 часа ( 90 минут).

• образовательные: формирование понятия показательного уравнения; ознакомление учащихся с типами показательных уравнений; формирование умений и навыков решения показательных уравнений;
• развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
• воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и самостоятельность мышления у учащихся.

Задачи урока

• Повторить свойства показательной функции
• Отработать алгоритм решения показательных уравнений
• Научить учащихся различать типы показательных уравнений
• Научить учащихся решать показательные уравнения

Девиз:

На предыдущих уроках мы познакомились с показательной функцией, изучили ее свойства. Сегодня нам предстоит повторить свойства показательной функции, уметь применять их при решении показательных уравнений, рассмотреть примеры уравнений, предлагаемых на экзамене базового уровня.

Устно:

а) представить в виде степени с основанием 2: 32; 0,5; 1; ;

б) вычислить ; ( ¹⁰ ; .

в) сколько точек пересечения имеют графики функций у = 2^х и у=16; у= 5^-х и у= 0,2; у=3^х и у = 7^х.

2. Объяснение новой темы. Решение показательных уравнений

Определение. Показательными называются уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

Теорема. Если а > 1, а 1, то уравнение а ^{f( x )} = a ^{g (x )} равносильно уравнению f( x ) = g (x ).

1. Если b 0, то уравнение а ^{f( x )} = b решений не имеет.

Пример. 5 ^{х + 1} = -5 решений нет; 5 ^{х + 1} = 0 решений нет.

2. Уравнение а ^{f( x )} = 1 равносильно уравнению f ( x ) = 0 ( а ^{f( x )} = а ⁰ равносильно уравнению f ( x ) = 0 ).

Пример.

• 2^{4х +1} = 1,
• 2^{4х +1} = 2⁰ ,
• 4х +1 = 0,
• х = - 1 : 4,
• х = - 0,25.

3. Уравнение а ^{f( x )} = aⁿ равносильно уравнению f ( x ) = n.

а) 7 ^х = 7 ² , х = 2.

б) 7 ^х = 49, 7 ^х = 7 ², тогда х = 2

в) 7 ^{3х – 2} = 7 ^{– 2}, 3х – 2 = - 2, 3х = 0, тогда х= 0

г) 7 ^2х = , 7 ^2х = 7 ^{- 2} , 2х = -2 , тогда х = -1

4. Уравнение а ^{f( x )} = b ^{f (x )} равносильно уравнению , значит f ( x ) = 0.

Пример. 3^2х-1 = 5^2х-1 , , 2х-1=0, тогда х = .

5. Показательные уравнения, приводящиеся к линейному.

Рассмотрим уравнение, сводящееся к линейному с помощью вынесения за скобки общего множителя.

Пример 1.

3^х+1 + 3^х =108, т.к. 3^х+1 = 3^х * 3 , то уравнение можно записать в виде 3 * 3^х + 3^х = 108; вынесем за скобки общий множитель 3^х, получим

3^х ( 3 + 1) = 108,

4 * 3^х = 108,

3^х = 27,

3^х = 3³,

х = 3.

Пример 2.

6 ^{х + 1} +35 * 6 ^{х -1} = 71, вынесем за скобки наименьший множитель 6 ^{х -1} , т.к. 6 ^{х + 1} = 6 ^х-1 * 6 ² , то получим 6 ^{х -1} ( 6 ² + 35) = 71,

6 ^{х -1} * 71= 71,

6 ^{х -1} = 1 ,

х-1 = 0,

х = 1.

Пример 3.

2^х+1 + 2^х-1 +2^х = 28, вынесем за скобки наименьший множитель 2 ^{х -1}, получим 2^х-1 (2² + 1 +2 ) = 28,

2^х-1 * 7 = 28,

2^х-1 = 4,

2^х-1 = 2² ,

х-1 = 2,

х=3.

Пример 4.

5^1-х + + = 155 ,

5 ^1-х + + = 155, вынесем общий множитель 5^-х за скобки, получим

5 ^{– х} ( 5 + 5² +1) = 155,

5 ^{– х} ( 5 + 25 +1) = 155,

5 ^{– х} * 31 = 155,

5 ^{– х} = 5,

-х = 1,

х = -1.

Пример 5.

7^3-х - 7^{2 –х} = 2^{5 –х} – 2^{3 –х} ,

7 * 7^2-х - 7^{2 –х} = 8 * 2^{2 –х} – 2 * 2^{2 –х} ,

7^2-х (7 - 1) = 2^{2 –х} (8 – 2),

7^2-х * 6 = 2^{2 –х} * 6, 7^2-х = 2^{2 –х},

,

2-х=0,

х=2.

6. Показательные уравнения, приводящиеся к квадратному.

Рассмотрим уравнение в общем виде Аа^2х + Ва^х + С =0

Пусть а^х = t и а^2х = t², тогда Аt² + Вt + С =0 – квадратное уравнение.

Пример 1.

4^х – 5 * 2^х +4=0,

т.к. 4^х = 2^2х = (2^х)²; пусть 2^х = t и 2^2х = t², тогда

t² - 5 t +4 =0, t₁=4 , t₂=1

если t₁=4, то 2^х = 4, х=2;

если t₂=1, то 2^х = 1, х=0. Ответ: 0; 2.

Пример 2.

,

,

пусть , тогда + 13t -12 = 0,

t₁=, t₂= 1,

= решения нет;

=,

х= 0.

Ответ: 0.

7. Однородные показательные уравнения

Рассмотрим уравнение А.

Разделим почленно на . Получим уравнение , пусть , тогда уравнение принимает вид .

Пример. .

, разделим на , получим уравнение

, пусть , тогда

, t₁ = 1, t₂= ,

тогда , х=0 ;

и х = -1.

Ответ: -1; 0.

8. Задание. Определите, каким методом будем решать каждое уравнение

1)

2)

3) .

Вывод: Существуют методы решения показательных уравнений:

• Метод приведения степеней к одному основанию
• Вынесение общего множителя за скобки
• Метод замены переменной
• Метод почленного деления (однородные уравнения )

3. Подведение итогов урока.

“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.” Лейбниц.

4. Домашняя работа (задание на карточке уравнения п.8).

5. Рефлексия

• Сегодня на уроке я повторил ...
• Сегодня на уроке я узнал ...
• Сегодня на уроке я научился ...

6. Оценка знаний

- Оцените свои знания и умения по данной теме.

- Спасибо за урок!