Цель: развитие гибкого мышления, умения выделять главное, расчленить проблему на составляющие, наметить очерёдность их решения.
1. Школа С.А.Рачинского
Сергей Александрович Рачинский родился 2 мая 1833 года.в с.Татево Смоленской губернии. В 1853 году окончил естественный факультет Московского университета, затем учился в Германии и по возвращении в Москву возглавил кафедру физиологии растений в родном университете. Обладая весьма обширными познаниями в области естествознания, Сергей Александрович в 1861 году стал автором первого в России перевода на русский язык фундаментального трудаЧ.Дарвина “Происхождение видов”, а в 1866 году удостоился учёной степени ботаники.
В 1867 году Рачинский выходит в отставку, но активно участвует в переписке со многими известными людьми науки и искусства, в том числе и со знаменитым писателем Л.Н.Толстым. Идеи Толстого об организации в России школ для крестьянских детей пришлись по душе Рачинскому. Он начинает помогать сестре Варваре, которая уже работала в сельской школе, основанной их отцом Александром Антоновичем.
Вскоре эта деятельность всецело захватила Сергея Александровича. Он отдавал школе всё больше времени, разрабатывал новые приёмы обучения и создал первое в России общежитие для детей из отдалённых деревень. Через некоторое время в уезде стало 5 школ для детей крестьян, в которых работал сам С.А.Рачинский и священники местных приходов. Позднее таких школ было уже 15.
В 1899 году старания Рачинского отметил Николай II. Также одобряя и поддерживая деятельность Рачинского, Святейший синод сделал его попечителем церковно-приходских школ округа.
2. Уустный счёт С.А.Рачинского.
Занимаясь начальным образованием крестьянских детей, С.А.Рачинский заметил постоянное стремление смышленых ребятишек к умственному развитию. И неожиданно для самого себя он нашёл для этого эффективные и простые в условиях сельской школы упражнения – устный счёт.
Может, однако, казаться, что в наш век, изобилующий калькуляторами и компьютерами, устный счёт не актуален, но ведь посредством устного счёта развиваются гибкость мышления, стремление к каждому замочку подобрать свой ключик, порою даже не один. Устный счёт является прекрасной иллюстрацией одного из основных законов философии: здесь количество решённых задач неизменно переходит в качество мышления. Это особенно ценно для детей и подростков. Дело в том, что информацию в современном мире мы самостоятельно почти не добываем.она всем нам преподносится в готовом, “разжёванном” виде. Нам не надо делать усилий, добывая её. Нам остаётся только её “вкушать”. Вот этим-то “вкушением”, без затрат умственных усилий, убивает в человеке способность к творчеству, к критическому мышлению. Вот почему можно сказать, что устный счёт является одним из эффективнейших тренажёров для “накачивания ума”
3. Задачи С.А.Рачинского.
В задачах С.А.Рачинского есть одна техническая трудность для современного человека. Все единицы измерения даны автором в старой системе, которая была принята в России в то время.
Условно все задачи можно разбить на несколько групп:
- использование “круглого числа”
- “взаимопомощь умножения и деления”
- общие приёмы деления, а также сочетание умножения и деления
- нестандартные приёмы
- “возведение числа в квадрат”
- задачи “на части”, задачи “на разницу”, задачи на логические рассждения
Использование “круглого числа”
Приём круглого числа заключается в том, что любое число можно представить в виде суммы или разности чисел, одно или несколько из которых “круглое”
Например, 32 x 31=32 x (30+1)=32 x 30+32 x 1=32 x 3 x 10+32=96 x 10+32=960=32=992
Задача 1. Куплены 31 десятина леса по 32 рубля и 28 десятин по 36 рублей. Сколько стоит вся земля?
Решение: 31=30+1; 28=30-2
32 x 31 +36 x 28 = 32 x (30+1) + 36 x (30-2) = (960+32) + (1080-72) = (960+1080) + (32-72) = 2040 + 32 – 72 = 2072 – 72 = 2000 (руб)
Ответ: 2000 рублей
Ещё несколько задач на использование приёма “круглого числа”
Задача 2.
Задача 3. Сколько вершков в 375 аршинах? (Ответ: 6000)
Задача 4. В течение февраля я прочёл весь Ветхий Завет. Прочитывал я по36 страниц в день. Сколько страниц в Ветхом Завете? (Ответ: 1008)
Задача 5. Некто был учителем в течение 14 лет. Сколько дней он учительствовал? (Ответ: 5110)
“Взаимопомощь умножения и деления”
Для решения задач такого типа надо вспомнить два свойства умножения и деления
Если один из множителей умножить на любое число, кроме нуля, то произведение не изменится, если другой множитель мы разделим на то же самое число
Частное не изменится, если делимое и делить умножить или разделить на одно и то же число, кроме нуля
Задача 1. Сколько вершков в версте?
Решение: в версте 500 саженей, в сажени 3 аршина, в аршине 16 вершков. Значит, 500 x 3 x 16 = 3 x 16 x 500 = (3 x 16 x 1000):2 = (48 x 1000):2 = 48000:2 = 24000 (вершков) или 500 x 3 x 16 = 500 x 2 x 8 x 3 = 1000 x 24 = 24000 (вершков)
Ответ: 24000 вершков
Задача 2. Я за 15 рублей купил 34 молитвенника по 25 копеек и 13 Псалтырей. Сколько стоит Псалтырь?
Решение: в 15 рублях 1500 копеек.
34 x 25 = (34 x 100):4 = 3400:4 = (3400:2):2 = 1700:2 = 850 (коп)
1500 – 850 = 1500 – 500 – 350 = 1000 – 350 = 650 (коп)
650:13 = (65 x 10):13 = 65:13 x 10 = 5 x 10 = 50 (коп)
Ответ: 50 копеек
Ещё несколько задач на использование приёма “взаимопомощи умножения и деления”
Задача 3. В нашем обществе трезвости 980 членов. Если считать, что каждый из них тем, что не пьёт, сберегает по 25 руб. в год, сколько в год сберегают они вместе? (Ответ: 24500 руб)
Задача 4. Помещик купил 240 десятин земли по 25 руб. Но 40 десятин у него отняли. Остальные он продал по 30 руб. Сколько прибыли? (Ответ: никакой)
Задача 5. Живописец за 2 часа 5 минут написал масляный портрет и получил за него 30 руб. Сколько он зарабатывал за минуту? (ответ: 24 коп.)
Общие приёмы деления, а также сочетание умножения и деления
При решении такого типа задач надо вспомнить признаки делимости чисел, свойства умножения и деления.
Задача 1.
Решение: в версте 500 саженей. 1час 12 минут составят 72 минуты.
500:25 = 20 (частей в 500 саженях по 25 саженей)
72х20 = 72х2х10 = 1440 (минут) – будет ползти улитка, а поскольку в часе 60 минут, то 1440:60 = (:10) = 144:6 = (:2) =72:3 = (60+12):3 = 60:3 + 12:3 = 20 + 4 = 24 (часа) = 1 сутки
Ответ: за 1 сутки
Ещё несколько задач такого же типа:
Задача 2. Я купил 15 равных голов сахару, и их мне хватило на 3 простых года. На сколько дней хватало одной головы? (Ответ: на 73 дня)
Задача 3. У торговца были 4 сорокаведёрные бочки вина. Часть этого вина он разлил в 16 бочонков, вмещающих по 6? ведра. Остаток он разлил в бочонки, вмещающие по 3? ведра. Сколько понадобилось последних? (Ответ: 16 бочонков по 3? ведра)
Задача 4. 9 ткачей работали 8 дней по 7 часов в день и выткали 168 аршин. Сколько аршин выткут 10 ткачей за 9 дней, работая по 8часов в день? (Ответ: 240 аршин)
Нестандартные приёмы
Задача 1.
Решение: Мы помним, что в году 12 двунадесятых праздников. Любой отрезок натурального ряда чисел имеет такую особенность: числа, одинаково удалённые от его концов, в сумме дают одно и то же число:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 +12) + (2 +11) + (3 + 10) + (4 + 9) + (5 + 8) + (6 + 7) = 13х6 = 78 (руб) – жалование по месяцам
78 + 12 + 10 = 100 (руб.)
Ответ: 100 рублей
Ещё несколько задач нестандартного вида:
Задача 2. У меня было бумаги 1 стопа 2 дести 1 лист. Из этой бумаги я сделал 23 тетради. Сколько в каждой листов? (Ответ: 23 листа)
Задача 3. Я купил 27 аршин плиса по 37 копеек и 77 аршин ситца по 13 копеек. Сколько я заплатил? (Здесь можно применить приём доведения или добавления до круглого числа. Ответ: 20 рублей)
Задача 4. Я купил 29 десятин пашни по 31 рублю и 9 десятин леса по 89 рублей. Сколько я заплатил? (Ответ: 1700 рублей)
“Возведение числа в квадрат”
При решении задач такого типа надо знать таблицу квадратов.
Задача 1. В учебном заведении на воспитанников Великим постом (7 недель) каждый день выходит по 7 фунтов масла по 7 копеек. При закупки этого масла было дано бумажками 25 рублей. Сколько сдачи?
Решение: 7х7х7х7 = 49х49 = 49?
49? = (50 – 1)2 = 502 - 2х50х1 + 12 =2500 – 100 + 1 = 2401
В 25 рублях 2500 копеек, 2500 – 2401 = 99 (коп)
Ответ: 99 копеек сдача.
Задача 2. Из 5 фунтов серебра сделаны цепочки весом каждая в 7 золотников 48 долей. Сколько цепочек? (1 фунт=32 лота, 1 лот =3 золотника, 1 золотник = 96 долей. Ответ: 64 цепочки)
Задача “на части”
Задача 1. За 430 рублей я купил седло, сани и карету. Каждая вещь вшестеро дороже предыдущей. Цены?
Решение: Цену самой дешёвой вещи возьмём за 1 часть, тогда цены других вещей будет 6 частей и 36 частей соответственно. И за все эти одинаковые части было уплачено 430 рублей.
430 : (1 + 6 + 36) = 430 : 43 = 10
10х6 = 60 (руб), 10х36 = 360 (руб)
Ответ: 10 рублей, 60 рублей, 360 рублей
Задача 2. Из пуда меди медник сделал подсвечник, чайник, кастрюлю и самовар. Каждая вещь втрое тяжелее предыдущей. Вес? (Ответ: 1 фунт, 3 фунта, 9 фунтов, 27 фунтов)
Задача 3. Я принёс в школу 220 орехов и раздал по 4 ореха каждому мальчику, по 3 – каждой девочке. В школе вдвое больше мальчиков, чем девочек. Сколько тех и других? (Ответ: 40 мальчиков и 20 девочек)
Задача “на разницу”
Задача 1. Бабе заказано выткать несколько аршин холста. Если она будет работать 7 дней, она 8 аршин не доткёт, если же она будет работать 9 дней, то выткет 4 аршина лишних. Сколько аршин ей заказано, и сколько она ткёт в день?
Решение: здесь мы видим, что неизменными величинами будут величина заказа и количество холста, сотканного за 1 день. А вот количество рабочих дней и результат труда меняются. На этих - то разницах мы и решим задачу.
Разница в количестве рабочих дней: 9 – 7 = 2 (дня)
Разница в сотканном холсте: 8 + 4 = 12 (аршин)
Но ведь эта разница в 12 аршин набежала за 2 дня. Значит: 12:2 = 6 (аршин) она ткала за 1 день. А далее просто. За 7 дней она сделала 6х7 = 42 9 аршина) и до плана недобрала 8 аршин: 42 + 8 = 50 (аршин)
Ответ: 50 аршин; 6 аршин.
Задача 2. Два брата купили по одной цене – один 16, другой 20 десятин земли. Второй заплатил на 100 руб больше. Сколько заплатил каждый? (Ответ: 400 руб; 500 руб)
Задача 3. В лавке несколько платков. Если они будут проданы по 6 рублей, то лавочник получит 24 рубля барыша (прибыли). Если же они будут проданы по 3 рубля, он будет в убытке на 12 рублей. Сколько платков у лавочника и почём он их покупал? (Ответ: 12 платков; 4 рубля)
Задачи на логические рассуждения
Задача 1. Я принёс своим ученикам пряники. Хотел дать каждому по 7, но 36 пряников не хватило. Если же я дам каждому по 6 пряников, то их останется 12. сколько я принёс пряников, и сколько у меня учеников?
Решение: добавим недостающие 36 пряников, но ученикам дадим по 6. Тогда останется 36 + 12 = 48 (пряников). Но ведь теперь мы можем дать всем ученикам по 7 пряников. Мы это и сделаем: добавим каждому по 1 прянику (6 + 1 = 7). Вот мы и раздали 48 пряников по 1 на каждого ученика. Значит, учеников было 48. тогда пряников было: 48х6 + 12 = 300 (пряников)
Ответ: 300 пряников; 48 учеников.
Задача 2. Я на свои деньги могу купить или 12 фунтов пряников, или 15 фунтов орехов. Фунт пряников на 5 копеек дороже фунта орехов. Сколько у меня денег? (Ответ: 3 руб)
Задача 3. Один работник проработал некоторое число дней и получал в день столько копеек, сколько проработал дней. Другой проработал днём меньше первого, но получал в день копейкою больше. Кто из них получил больше? (Ответ: первый на 1 копейку больше)
В работе приведена лишь малая толика задач, разработанных С.А.Рачинским. Надеюсь, что учителя или родители, которые захотят поупражняться вместе с детьми в решении старинных задач, расскажут детям о далёком времени, прокомментируют некоторые реалии жизни, с которыми предстоит столкнуться юным математикам.