План урока по алгебре и началам анализа по теме "Решение задач экономического содержания". 11-й класс

Методический комментарий

Мы предлагаем план уроков по алгебре и началам анализа (2 урока) в 11 классе. Данные уроки целесообразно проводить в начале повторения темы: «Решение задач экономического содержания».  С 2015 года сложная задача с экономическим содержанием стала обязательной составляющей ЕГЭ по математике профильного уровня. Далеко не все методические линии учебников, используемых при обучении учащихся, содержат необходимый набор задач по данной теме. Учителю приходится в короткое время обеспечить достаточный уровень подготовки учащихся, а для этого надо подобрать материал к урокам.

«Образование – это умение действовать в любых житейских ситуациях»

(Д.Хиббен)

I этап. Сегодня на уроках нам предстоит вспомнить наши основные знания по применению процентов в решении задач и познакомиться с их приложением в неизвестных для нас ситуациях.

Перед вами несколько задач, в условии которых есть понятие процента. Внимательно изучите  условия этих задач и попробуйте разделить их на три группы.

1. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?

2. Численность населения в городе Т. в течение двух лет возрастала на 2% ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в городе Т. первоначально?

3. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 9 % годовых. Вкладчик положил на счёт 10000 р. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счёта и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год? через два года? через пять лет?

4.Писатель фирмы, получив гонорар 100000 рублей, решил положить эти деньги в банк. Для уменьшения риска он разделил всю сумму на две равные части и положил их в два банка: в первый – государственный банк на три года под 7% годовых (простые %) и второй – коммерческий банк на два года под 10% годовых (сложные %). Какой вклад принёс больший доход?

5. Если человек не вносит своевременную плату за квартиру, то на него налагается штраф, который называется «пеня». Так в Москве пеня составляет 1% от суммы квартплаты за каждый день просрочки. Поэтому, например, за 19 дней просрочки, сумма составит 19% от суммы квартплаты, и в месте, скажем, со 100 руб. квартплаты человек должен будет внести пеню 0,19 * 100 = 19 руб., а всего 119 руб. Сколько надо заплатить москвичу, если его квартплата составляет 5000 руб. и просрочена на 5 дней?

6. Клиент положил на счёт 1000 рублей. За оказание определённой услуги сумма на счёте ежемесячно снижается на 5 %. Через сколько месяцев эта сумма сократится до 800 рублей?

7. Начальная сумма составляет 100 руб. Ежемесячно она увеличивается на 2,5%. Через сколько месяцев эта сумма возрастёт до 115руб?

8. Население города за два года увеличилось с 20 000 до 22 050 человек. Найдите средний ежегодный процент роста населения этого города.

9. Коля устраивался на несложную работу, связанную с расчётом процентов. При собеседовании начальник с хитрой улыбкой предложил Коле два варианта оплаты труда. По первому варианту Коле сразу назначалась ставка 15000 руб. в месяц. По второму Коле, если он согласится, первые 2 месяца будут выплачивать пониженную на 50% зарплату, как новичку. Зато потом увеличат его пониженную зарплату  на 80%! Подумав шесть секунд, с лёгкой улыбкой выбрал первый вариант. Начальник улыбнулся в ответ и установил Коле постоянную зарплату в 17000 руб.

10. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. На сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если выставленный на продажу за 8000 рублей, он через два года был продан за 6480 рублей?
После работы с текстами этих задач  и определения существенных признаков в условии, позволяющих их разделить на группы, на доске заполняется следующая таблица:

Далее учащиеся самостоятельно решают данные задачи и проверяют решения и ответы с помощью интерактивной доски, на которую высвечиваются все решения.

II этап. В жизни мы часто слышим понятие «кредит». Что же означает данное понятие?

Кредит – это финансовая сделка, в результате которой кредитор (например, банк) предоставляет на определённый срок деньги заёмщику (клиенту). За пользование деньгами клиент должен выплатить не только взятую сумму (тело кредита), но и проценты по кредиту. Схемы погашения кредитов могут быть различными: дифференцированная (разными платежами, убывающими в арифметической прогрессии) и аннуитентная (равными платежами) – принятыми во всём мире. На сегодняшний день большим спросом среди заёмщиков пользуется аннуитентная схема, так как клиентам удобно, когда сумма выплат постоянная. Именно поэтому мы начнём решать задачи именно по этой схеме выплат.

Учащимся предлагается решить следующие задачи совместно, выбирая удобную форму записи и обозначений.

№ 1.

В июле планируется взять кредит на сумму 6409000 рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение:

Пусть S = 6409000 руб., x – ежегодные выплаты.
По условию задачи долг перед банком должен уменьшаться следующим образом:

S, S – x, * S –(x + x) = 0, откуда x = 3 817 125 руб.

№2

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата тако­вы:

• каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн. рублей.

Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тре­мя равными платежами (то есть за три года)?

Решение:

Пусть S сумма кредита. По условию задания долг перед банком должен уменьшаться следующим образом:

S,
1,2S – x,
1,2²S – (1,2x + x),
1,2³S – (1,2²x + 1,2x + x) = 0, следовательно, S = 4.55 млн. руб.

№3.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 55 000 рублей, а во второй год — 69 000 рублей.

Решение:
Пусть k = 1 + . По условию задачи долг перед банком должен уменьшаться следующим образом: 100 000,
(100 000k – 55 000),
100 000k² – 55 000k – 69 000 = 0, 100k² – 55k – 69 = 0, k = 1,15, k = – 0,6
(не удовлетворяет условию задачи), следовательно, r = 15.
Подведение итогов уроков через повторение основных понятий.

Домашнее задание: решить следующие задачи:

1. В июле планируется взять кредит на сумму 8 052 000 рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

2. В июле планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга, равную 1,4641млн. рублей.
Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно,  что кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причём в первый год было переведено 66 000 рублей, а во второй год — 58 000 рублей.

Источники информации:

1. А.В.Семёнов, И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий, А.С.Трепалин, Е.А.Кукса «Как получить максимальный балл на ЕГЭ», Москва, Интеллект – Центр, 2015.
2. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова «задачи с экономическим содержанием», Ростов-на-Дону, Легион, 2015.