Решение тригонометрических уравнений с помощью подстановок: sinx+cosx=t, sinx-cosx=t, tgx+ctgx=t, tgx-ctgx=t

Цели:

1). Образовательные:

• Определение уровня овладения знаниями, повторение решения уравнений, решаемые с помощью вспомогательных аргументов.
• Коррекция знаний, умений, навыков.
• Организовать деятельность, направленную на выполнение постепенно усложняющихся заданий. Рассмотреть уравнения, решаемые с помощью подстановок.
• Учащиеся должны творчески применять знания, учится переносить в новые ситуации, применять в данной теме ранее полученные знания.

2) Развивающие:

• Развивать у учащихся способность самостоятельно применять полученные знания в нестандартных ситуациях.
• Развивать у учащихся творческий подход к предложенным заданиям.
• Развивать у учащихся переносить приобретённые знания в новые условия.

3) Воспитательные задачи:

• Формирование самостоятельности, мыслительной активности.

Ход урока

1. Повторение. Рассмотрение свойств тригонометрических функций, применяемых при решении уравнений.
2. Объяснение нового материала. Рассмотрение уравнений, которые решаются с помощью замены.
3. Закрепление нового материала.
4. Самостоятельная работа.
5. Домашнее задание.

Вместе с учащимися разбираются свойства:

1) Выразить sinx cosx, если известно, что sinx +cosx= 3/4.

(sinx +cosx)² = sin²x +cos²x +2 sinx cosx.

2 sinx cosx = 9/16 - 1= - 7/ 16, следовательно sinx cosx = -7/32.

2) Выразить tg²x+ctg²x, если tgx+ctgx=3.

9= (tgx+ctgx)²= tg²x+ctg²x + 2tgx ctgx= tg²x+ctg²x + 2.

Следовательно tg²x+ctg²x = 7.

Вместе с учащимися разбирается уравнение, в котором используется одно из выведенных свойств.

№ 1. Используем эту подстановку при решении уравнения sin²x – 4 sin x = 4 + 4 cos x.

Решение:

4(sin x + cos x) – 2 sin x cos x +4 = 0.

Введем обозначение: sin x + cos x = t , тогда 2sin x cos x = t² -1.

Получаем :

4 t – ( t² - 1) + 4 = 0,

t² - 4 t – 5 = 0.

Решая квадратное уравнение, получаем t₁ = 5, t₂ = -1.

1) sin x + cos x = 5

Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1 , ¦cos x¦ 1.

2) sin x + cos x = - 1

Применим способ введения вспомогательной переменной.

Разделим почленно данное уравнение на .

Получаем:

cos / 4 * sin x + sin / 4 * cos x = - / 2;

sin (x + / 4) = - / 2.

Решая тригонометрическое уравнение, получаем:

x + / 4 = - / 4 + 2n или x + / 4= 5/ 4 + 2 n, где n Z.

Ответ: /2 + 2 n; + 2n, где n Z.

Закрепление уравнений данного типа (у доски - учащийся):

№ 2. 2 cos x – sin 2x = 2 +2 sinx.

Решение:

2 (sinx – cosx) + 2 sinx + 2 = 0

Введем обозначение: sin x - cos x = t, тогда 2sin x cos x = 1 - t².

Получаем:

2t + 1 - t² + 2 = 0;

t² - 2t – 3 = 0.

Решая квадратное уравнение, получаем: t₁= 3 , t₂ = -1.

1) sin x + cos x = 3. Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1 , ¦cos x¦ 1.

2) sin x - cos x = - 1.

Применим способ введения вспомогательной переменной.

Разделим почленно данное уравнение на .

cos / 4 * sin x - sin / 4 * cos x = - / 2.

sin ( x - / 4 ) = - / 2.

Решая тригонометрическое уравнение, получаем :

x - / 4 = - / 4 + 2 n или x - / 4 = 5 / 4 + 2 n , где n Z.

Ответ: 2 n ; 3 / 2 + 2 n , где n Z.

№ 3. sin 2x + 3(sin x-cos x ) =5.

Решение.

Уравнение решается самостоятельно с последующей проверкой.

Применяя данную подстановку, получаем: t² - 3t +4 = 0.

t₁ = 2 , t₂ =

sin x + cos x =2.

Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1, ¦cos x¦ 1.

2) sin x - cos x = .

Применим способ введения вспомогательной переменной .

Разделим почленно данное уравнение на .

Получаем:

sin ( x - / 4 ) = 1.

x - / 4 = / 2 + 2 n или x = 3/ 4 + 2 n, где n Z .

Ответ: 3/ 4 + 2 n, где n Z .

№ 4. Применим еще одну подстановку.

4tg²x+ctg²x +6tgx-3 ctg x-8 =0.

Решение:

2tg x- ctg x = t.

4tg²x+ctg²x – 4 = t², получаем:

t² + 3t – 4 = 0

t₁ = -4 , t₂ = 1

2tg x- ctg x = - 4.

2tg x- 1/tg x = - 4

2 tg²x+ 4tg x - 1 =0.

t₁ = (-2 + )/2, t ₂ = (-2 - )/2.

х= arc tg (-2 + )/2 + n или х= arc tg (-2 - )/2 + n , где n Z .

Ответ: arctg (-2 + )/2 + n , arctg (-2 - )/2 + n , где n Z .

№ 5. Закрепление темы:

tg²x+ctg²x -3(tgx+ ctg x) + 4=0.

Решение.

Введем подстановку:

tg x + ctg x = t, получаем:

t² + 3t + 2 = 0.

Решая квадратное уравнение , получаем: t₁ = - 2 , t₂ = - 1.

tg x + ctg x = -2;

tg²x- 2tg x + 1 =0,

tg x =1

x = /4 + n, где n Z .

tg x + ctg x = -1 не имеет решения.

Ответ: / 4 + n, где n Z .

№ 6.Решим уравнение (учащиеся решают самостоятельно с последующей проверкой):

2(tgx+ ctg x)= (tg²x+ctg²x) - 2=0.

Решение.

Проверка по этапам:

Квадратное уравнение относительно t: t² - 2 t = 0.

Корни уравнения: t=0 или t= 2/,

Ответ: n; arc tg(3)/2 + n, где n Z .

Далее рассматриваются более сложные уравнения, содержащие модули.

¦ sin x + cos x¦ = 1+2 sin x.

Решение.

Применяя подстановку: sin x + cos x = t, получаем: ¦ t¦= t².

Решая уравнения с модулем, получаем:

t = 0 или t= 1 , t = -1.

Далее решаем уже рассмотренные уравнения:

sin x + cos x = 0,

sin x + cos x =1,

sin x + cos x =-1.

Объединяя решения, получаем ответ:

Ответ: - /4+ n ; /2 n, где n Z .

Далее предлагается учащимся уравнения для самостоятельной проработки:

1) 3 (sin x + cos x ) = 2 sin2 x,

2) 1 + sin2 x = sin x + cos x,

3) sin x + cos x - sin 2x + cos2 x – cos3 x = 1,

4) sin2 x - 5sin x + 5 cos x + 5 = 0,

5) tgx+ ctg x = 3 - sin2 x,

6) 2(sin2 x – cos2 x) = tgx+ ctg x.

Решение данных уравнений разбирается на следующих занятиях.