Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, углубленное изучение свойств квадратных уравнений.
Образовательные цели урока: обеспечить закрепление теоремы Виета, обратить внимание учащихся на решение квадратных уравнений ах2 + вх + с = 0, в которых а+в+с=0; привить навыки устного решения таких уравнений.
Воспитательные цели урока: способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов, развивать самостоятельность и творчество.
Ход урока
1. Организационный момент.
Учащимся сообщаются задачи урока:
- Контроль знаний с помощью тестирования (тест на заполнение пропусков, чтобы получилось верное определение, формулировка, правило)
- Решение задач на применение прямой и обратной теорем Виета.
- Изучение нового свойства квадратных уравнений.
2. Повторение пройденного материала.
1) Решить уравнение (работа у доски): 7х2 - 9х + 2 =0
Решение: D = в2 – 4ас, D = 25, х1 = , х2 = 1. Ответ: х1 = , х2 = 1.
2) Тест “ Квадратные уравнения”:
Вариант 1
- ... уравнением называется уравнение ах2 + вх + с = 0, где а,в,с – заданные числа, а 0, х – переменная.
- Уравнение х2 = а, где а > 0, имеет корни х1 = ...; х2 = ...
- Уравнение ах2 = 0, где а 0, называется ... .
- Уравнение ах2 + вх + с = 0, где а 0, в 0, называется ... квадратным уравнением.
- Если ах2 + вх + с = 0 - квадратное уравнение (а 0), то “в” называют ... коэффициентом.
- Корни квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0 вычисляют по формуле х = ... .
- Приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = ..., в = ..., с = ... .
- Если х1 и х2 - корни уравнения х2 + рх + q = 0, то справедливы формулы х1 + х2 =...; х1 * х2 = ...
Вариант 2
- Если ах2 + вх + с = 0 - квадратное уравнение, то а называют ... коэффициентом, с - ... членом.
- Уравнение х2 = а, где а < 0, не имеет ... .
- Уравнение ах2 + с = 0, где а 0, с 0, называется ... квадратным уравнением.
- Корни квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0 вычисляют по формуле х1 = ... ; х2 = ... .
- Квадратное уравнение ах2 + вх + с = 0 имеет два различных действительных корня, если в2 – 4ас ... 0.
- Квадратное уравнение вида х2 + рх + q = 0 называют ... .
- Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна ... коэффициенту, взятому с ... знаком, а произведение корней равно ... числу.
- Если числа p, q, х1, х 2 таковы, что х1 + х2 = - Р; х1 * х2 = ..., то х1 и х2 - корни уравнения....
3. Задание на определение вида уравнения (устно).
Вопрос учащимся:
- Ребята, здесь вы видите уравнения, определенные по какому-то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений этой группы является лишним?
а)
1) 2х2 – х = 0,
2) х2 – 16 = 0,
3) 4х2 + х – 3 = 0,
4) 2х2 = 0.
б)
1) х2 – 5х + 1 = 0,
2) 9х2 – 6х + 10 = 0,
3) х2 + 2х – 2 = 0,
4) х2 – 3х – 1 = 0.
Ответ:
а) 3) – лишнее, т.к. это полное квадратное уравнение; 1), 2), 4) – неполные квадратные уравнения.
б) 2) - лишнее, т.к. это уравнение общего вида; 1), 3), 4) – приведенные квадратные уравнения.
4) а) Вопрос учащимся:
- Как можно решить приведенное квадратное уравнение?
(Oтвет: по формуле корней квадратного уравнения и по теореме Виета)
- Сформулируйте теорему Виета. (отвечают ученики)
б) – Как используется теорема Виета при решении квадратного уравнения общего вида ах2 +вх + с = 0?
(Ответ: заменить это уравнение равносильным ему приведенным квадратным уравнением)
- А сейчас, ребята, послушайте стихотворение о теореме Виета:
ПО ПРАВУ ДОСТОЙНА В СТИХАХ БЫТЬ ВОСПЕТА
О СВОЙСТВАХ КОРНЕЙ ТЕОРЕМА ВИЕТА.
ЧТО ЛУЧШЕ, СКАЖИ ПОСТОЯНСТВА ТАКОГО:
УМНОЖИШЬ ТЫ КОРНИ – И ДРОБЬ УЖ ГОТОВА?
В ЧИСЛИТЕЛЕ “С”, В ЗНАМЕНАТЕЛЕ “а”,
А СУММА КОРНЕЙ ТОЖЕ ДРОБИ РАВНА.
ХОТЬ С МИНУСОМ ДРОБЬ, ЧТО ЗА БЕДА!
В ЧИСЛИТЕЛЕ “в”, В ЗНАМЕНАТЕЛЕ “а”.
4. Решение задач с использованием теоремы Виета.
1) Дано уравнение: х2 – 6х + 5 = 0.Не решая уравнения, найти:
1. Сумму корней,
2. Произведение корней,
3. Квадрат суммы корней,
4. Удвоенное произведение корней,
5. + =
6. Подобрать корни.
Класс выполняет задание в тетрадях. Учитель записывает ответы, полученные учащимися на даске.
2) Устно.
А) Найти сумму и произведение корней следующих уравнений:
№ п/п | Уравнение | Х1 + Х2 | Х1 * Х2 |
1 | Х2 – 3Х – 4 = 0 | ||
2 | Х2 – 9Х + 14 = 0 | ||
3 | 2Х2 – 5Х + 18 = 0 | ||
4 | 3Х2 + 15Х + 1 = 0 |
Б) Для уравнений 1 и 2 найти подбором корни.
3)Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни.
(Перед выполнением задания учащиеся формулируют обратную теорему Виета)
А) Учитель сам решает задание, записанное на доске: Х1 = - 3, Х2 = 1.
х2 + рх + q = 0,
Х1 + Х2 = - 3 + 1= -2.
Х1 * Х2 = - 3 * 1= -3
х2 + 2х + (-3) = 0, р = 2, q = -3;
Ответ: х2 + 2х -3 = 0.
Б) Самостоятельная работа в четырех вариантах (с проверкой в классе):
- 1 вариант: Х1 = 5, Х2 = 6.
- 2 вариант: Х1 = - 5, Х2 = 6.
- 3 вариант: Х1 = 5, Х2 = - 6.
- 4 вариант: Х1 = - 5, Х2 = - 6.
Ответ: 1. х2 - 11х +30 = 0; 2. х2 - х -30 = 0; 3. х2 + х -30 = 0; 4. х2 + 11х +30 = 0.
5. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО СВОЙСТВА КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.
– Ребята, мы с вами решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Сегодня мы познакомимся еще с одним способом решенияя. Который позволит устно и быстро находить корни квадратного уравнения.
Устно. Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите сумму коэффициентов.
1 | х2 - 5х + 1 = 0 | 1 – 5 +1= -3 |
2 | 9х2 - 6х + 10 = 0 | 9 – 6 + 10 = 13 |
3 | х2 + 2х - 2 = 0 | 1 + 2 – 2 = 1 |
4 | х2 - 3х -1 = 0 | 1 – 3 – 1 = - 3 |
При решении некоторых квадратных уравнений, немаловажную роль играет сумма коэффициентов! Рассмотрим это на уравнениях, которые вы решали дома.
Проверка домашнего задания. Применение решения к изучению нового свойства.
(На доске записаны квадратные уравнения, решить которые нужно было дома)
х2 + х -2 = 0 | Х1 = 1, Х2 = - 2. | Сумма коэффициентов 0 |
х2 + 2х -3 = 0 | Х1 = 1, Х2 = - 3. | Сумма коэффициентов 0 |
х2 - 3х + 2 = 0 | Х1 = 1, Х2 = 2. | Сумма коэффициентов 0 |
5х2 - 8х + 3 = 0 | Х1 = 1, Х2 =. | Сумма коэффициентов 0 |
- Ребята, а сейчас посмотрите на эти уравнения и их корни. Попробуйте найти какую-то закономерность:
- В корнях этих уравнений;
- В соответствии между отдельными коэффициентами и корнями;
- В сумме коэффициентов.
Ученики отвечают:
- Первый корень равен 1;
- Второй корень равен “с” или ;
- Сумма коэффициентов равна 0.
Вывод: если в уравнении ах2 + вх + с = 0, а + в + с = 0, то один из корней равен 1, а другой (по теореме Виета) равен (если а=1, то Х1 = 1, Х2 = с).
Это свойство применяют для устного решения квадратных уравнений.
Рассмотрим это примере: Решить уравнение 7х2 - 9х + 2 = 0.
7 – 9 + 2 = 0, Х1 = 1, Х2 =.
6. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.
Решить уравнения:
Вариант 1 х2 + 23х - 24 = 0; 2х2 + х - 3 = 0; -5х2 + 4,4х + 0,6 = 0; х2 +2 х - 3 = 0. |
Вариант 2 х2 + 15х - 16 = 0; 5х2 + х - 6 = 0; -2х2 + 1,7х + 0,3 = 0; х2 + 3 х - 4 = 0. |
7. Задание на дом:
- Придумать три уравнения, в которых а + в + с = 0.
- Повторить п.19, 21, 23.
- №546 (а, б)
8. Рефлексия.