Многим старшеклассникам часто приходится сталкиваться с заданиями типа “Сравните числа...” или “Решите уравнение...”, в которых или извлекаемый, но из неимоверно большого числа (настолько большого, что не поможет даже таблица квадратов) корень, либо неизвлекаемый. Конечно, можно воспользоваться калькулятором и не мучиться. Но как же быть с предстоящими экзаменами? Да и на контрольной работе особо техникой не воспользуешься.
Именно этот вопрос может стать прекрасной темой для исследовательской работы.
Исследуем некоторые способы извлечения квадратных корней из различных чисел.
Задачи:
- Познакомиться с историей квадратного корня
- Научиться извлекать квадратные корни без помощи электронно-вычислительной техники
- Познакомить с этими способами учащихся.
Данная тема очень актуальна, так как каждому выпускнику предстоит сдавать экзамены, а приобретённые навыки помогут не только на ЕГЭ по математике, но и на других предметах.
История квадратного корня.
Как мы знаем из определения, квадратный корень
из числа а - это такое число, квадрат
которого равен а, то есть решения
уравнения относительно переменной х: 
Квадратным корнем называют также функцию 
вещественной переменной х, которая
каждому 
ставит в соответствие арифметическое значение
корня.
Знак корня происходит из строчной латинской
буквы 
(от латинского radix - корень), сросшейся с
надстрочной чертой. Ранее надчеркивание
выражения использовалось вместо заключения его
в скобки. Так что 
есть всего лишь видоизменённый способ
записи выражения 
.
Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Томас Рудольф в 1525 году.
В ходе работы над данным исследованием можно обнаружить занимательную информацию. Оказывается, существует неофициальный праздник, посвящённый квадратному корню.
День квадратного корня - праздник, отмечаемый девять раз в столетие: в день, когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными корнями из двух последних цифр года (например, 2 февраля 2004 года: 02.02.04 или 3 марта 2009 года: 03.03.09). Ближайший такой праздник состоится 4 апреля 2016 года (04.04.16).
Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981 года (09.09.81). Основателем праздника является школьный учитель Рон Гордон из города Редвуд Сити, штат Калифорния, США. Его дочь с помощью всемирных социальных сетей собрала группы поклонников этого праздника, где каждый может поделиться своим способом отметить эту необычную дату.
Главным блюдом на этом “праздничном столе” обычно являются варёные кубики из овощей и выпечка в форме математического знака квадратного корня.
По объективным математическим причинам это праздник отмечается строго девять раз в столетие (семь раз в первой половине века и дважды - во второй), всегда в одни и те же дни:
- января ХХ01 года
- февраля ХХ04 года
- марта ХХ09 года
- апреля XX16 года
- мая ХХ25 года
- июня ХХ36 года
- июня ХХ49 года
- августа ХХ64 года
- сентября ХХ81 года.
При этом интересно заметить, что промежуток (в годах) между праздниками составляет непрерывную последовательность нечётных чисел: 3, 5, 7,9, 11, 13, 15, 17, 19.
Методы извлечения квадратного корня.
Рассмотрим несколько методов извлечения квадратного корня. Начнём с алгоритма для извлечения квадратного корня из целого и дробного числа; арифметического способа; метода грубой прикидки. Далее рассмотрим два замечательных (и весьма удобных) метода Герона.
Первый метод:
Алгоритм для извлечения квадратного корня из целого числа нацело. Данный алгоритм требует вычислений в столбик. Изучим предложенный алгоритм, а затем применим для нескольких чисел.
Разбить число на группы по две цифры справа налево.
Для первой группы (она может в итоге состоять из двухзначного и однозначного числа) подобрать такую цифру, чтобы её квадрат был наибольшим и не превосходящим данное число.
Из первой группы вычитается квадрат найденного числа, а само число будет первым в ответе.
Далее работаем столбиком, то есть к остатку (если он есть) сносим следующую группу.
Самый сложный. Помните то число, которое было первым в ответе? Его необходимо умножить на 2, а затем справа к нему приписать ещё одну цифру, такую, чтобы произведение полученного числа на приписанную цифру было наибольшим, но не превосходило снесённое число. Эта самая цифра будет следующей в ответе.
Затем мы вычитаем столбиком полученное число и сносим следующую группу, если такая есть. И повторяем шаги 4-5, только берём уже все число, которое выходит в ответе.
Записываем ответ.
Без примера разобраться с этим алгоритмом трудно. Начнём с числа попроще, с табличного значения.
Пример: вычислим 
.
Разбиваем число: 31’36
Для первой группы (31) подбираем цифру, чтобы её квадрат был максимален, но не превосходил группу. В данном случае это число 5, которое первым пойдёт в ответ.
, Пусть
цифра – 6; 
Пример: возьмём число повнушительнее,
например 
Разбиваем число: 
Для первой группы (29) подбираем цифру, чтобы её квадрат был максимален, но не превосходил группу. В данном случае это число 5, которое первым пойдёт в ответ.
а) 
, Пусть
цифра – 4; 
б) 
, Пусть
цифра – 7; 
Если корень не извлекается из числа нацело, то нужно пользоваться тем же самым алгоритмом, добавив справа от исходного числа дробные группы ’00’ (чем больше групп, тем точнее результат). Если необходимо вычислить корень квадратный из дробного числа, то также пользуются данным алгоритмом, только дробную часть разбивать на группы необходимо слева направо, считая от запятой.
Второй метод:
Для относительно небольших чисел существует арифметический способ вычисления их квадратного корня. Ну, мало ли на экзамене переволнуешься, и забудешь корень квадратный из 4. Бывает и не такое.
В чем суть метода. Для квадратов чисел справедливы следующие равенства:
1=12
1+3=22
1+3+5=32
То есть найдём, например: 
.
25-1=24 (1)
24-3=21 (2)
21-5=16 (3)
16-7=9 (4)
9-9=0 (5)
В принципе, этим способом можно найти целую часть квадратного корня для чисел, из которых корень нацело не выносится.
8-1=7(1)
7-3=4(2)
Третий метод:
Метод грубой прикидки может быть использован при наличии под рукой таблицы квадратов.
Например, вам необходимо грубо оценить
значение 
.
Тогда можно поступить следующим образом. Нужно
умножить исходное число на 100 (т.е. 
) и найти ближайшие к
полученному числу значения по таблице. В данном
случае, это числа 484 и 529. Квадратными корнями для
этих чисел являются 22 и 23. 
, 
, тогда 
Аналогично, для больших чисел: найдём 
.
Четвёртый метод:
Древнегреческий учёный Герон, живший ещё в I веке нашей эры, придумал метод вычисления квадратных корней, который, возможно, используется в ваших собственных калькуляторах. Суть первого метода проще всего понять сразу на примере.
Найдём
. Число не имеет рационального корня,
поэтому возьмём корень с очень малой
погрешностью. Это 1369, имеющее корень 37.
Разделим 1360 на 37. Получается 
.
Теперь сложим 37 и 
, получается 
.
Разделим результат на 2, получим 
. Безусловно, мы получаем
число с погрешностью, но эту погрешность можно
уменьшить, если повторить все операции ещё раз.
Второй метод Герона ещё проще, чем первый.
В этом случае, исходное число представляется
как 
. где а2
– ближайший точный квадрат, и считают по формуле 
Например, 
По моему мнению, методы Герона являются самыми простыми для понимания школьников, а также очень эффективными, так как имеют самую маленькую погрешность. Успехов на экзамене!