С 2015 года экзамен по математике стал двухуровневым. В экзаменационную работу для профильного уровня входит “банковская” задача (№17).
Предлагаю решения некоторых “банковских” задач.
Тексты задач взяты из сборника: ЕГЭ-2016: Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену: профильный уровень / под ред. И. В. Ященко. – Москва: АСТ: Астрель, 2016 [1].
Предполагается использование данного материала во внеклассной работе по математике с учащимися 10-11 классов.
Задача №1
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,2 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования?
Решение
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 1 200 000:24 = 50 000 (руб.). За 12 месяцев нужно выплатить 600 000 рублей (без процентов).
2) Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за первые 12 месяцев.
1 200 000
0,01 + 1 150 000 0,01 + 1 100 000 0,01 + ... +650 0000,01
=
= 0,01(1 200 000 + 1 150 000 + 1 100
000 + ... + 650 000) =
= 
12
0,01=11 100 0000,01=111 000 (руб.).
3) 600 000 + 111 000 = 711 000(руб.) – сумма, которую нужно вернуть банку в течение первого года.
Ответ: 711 000 рублей
Задача №2
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 933 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования?
Решение
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей.
Сумма кредита составляет (24
Х) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить
(12
Х) рублей (без
процентов).
2) Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.
Составим и решим уравнение: 933 000 = 12Х + Р.
Р = (24Х + 23Х +...+ 13Х) 0,03 = 
120,03 = 37Х0,18 = 6,66Х;
933 000 = 12Х + 6,66Х;
933 000 = 18, 66Х;
Х = 50 000.
Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 50 000 рублей.
3) 50 000 12 = 600 000 (руб.)
нужно вернуть банку в течение второго года (без
процентов).
Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за последние 12 месяцев.
(12Х + 11Х + ... + Х) 0,03 = 
120,03 = 13Х0,18 = 2,34Х;
2,2450 000=117 000 (руб.)
4) 600 000 + 117 000 = 717 000 (руб.) – сумма, которую нужно вернуть банку в течение второго года.
Ответ: 717 000 рублей
Задача №3
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 798,75 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования?
Решение
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без
процентов) составляют Х рублей. Сумма кредита
составляет (24Х)
рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12Х) рублей (без
процентов).
2) Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за последние 12 месяцев.
Составим и решим уравнение: 798,75 = 12Х + Р.
Р = (12Х+11Х+...+Х) 0,01 = 
120,01 = (12Х + Х) 0,06 = 0,78Х;
798 750 = 12Х + 0,78Х; 798 750 = 12,78Х; Х = 62 500.
Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 62 500 рублей.
3) 62 50012 = 750 000 (руб.)
нужно вернуть банку в течение первого года (без
процентов).
Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за первые 12 месяцев.
(24Х + 23Х + ... +13Х) 0,01 = 
120,01 = 3760,01Х = 2,2262 500 = 138
750 (руб.)
4) 750 000 + 138 750 = 888 750 (руб.) – сумма, которую нужно вернуть банку в течение первого года.
Ответ: 888 750 рублей
Задача №4
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение первого года (месяцев первых 12) кредитования нужно вернуть банку 1399,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей
Сумма кредита составляет (24Х) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить
(12Х) рублей (без %).
2) Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.
Составим и решим уравнение: 1 399 500 = 12Х + Р.
Р = (24Х + 23Х +...+ 13Х)0,03=
120,03=(24Х + 13Х)0,18 = 6,66Х;
1 399 500 = 12Х + 6,66Х;
1 399 500 = 18, 66Х;
Х = 75 000.
Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 75 000 рублей.
3) 75 00024 = 1 800 000 (руб.) -
сумма планируемого кредита.
Ответ: 1 800 000 рублей
Задача №5
15 января планируется взять в кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 1695 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей.
Сумма кредита составляет (24Х) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить
(12Х) рублей (без
процентов).
2). Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.
Составим и решим уравнение: 1 695 000 = 12Х + Р.
Р = (12Х + 11Х +...+ Х)0,02 = 
120,02 = 13Х 0,12 = 1,56Х;
1 695 000= 12Х + 1,56Х;
1 695 000 = 13, 56Х;
Х = 125 000.
Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 125 000 рублей.
3) 125 00024 = 3 000 000 (руб.) -
сумма планируемого кредита.
Ответ: 3 000 000 рублей
Задача №6
15 января планируется взять в кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что на пятый месяц (со 2 по 14 июня) кредитования нужно выплатить банку 44 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку в течение всего срока кредитования?
Решение
1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без
процентов) составляют Х рублей. Сумма кредита
составляет (9Х)
рублей (без процентов).
2) Пусть р – сумма, которую составляют проценты на пятый месяц кредитования.
Составим и решим уравнение: 44 000 = Х + р.
За пять месяцев сумма кредита составит (5Х) руб.
На пятый месяц проценты составят р = 5Х0,02 = 0,1Х (руб.).
Тогда 44 000 = Х + 0,1Х; 44 000 = 1,1Х;
Х = 40 000 (руб.) составляет сумма ежемесячных выплат (без процентов).
Сумма кредита составляет 40 0009 = 360 000(руб.)
3) Подсчитаем сумму, которую составляют проценты за весь период:
(9Х + 8Х +...+ Х) 0,02 = 
90,02 = 10Х0,09 = 0,9Х;
0,940 000 = 36 000(руб.)
4) 360 000 + 36 000 = 396 000(руб.) - сумма, которую нужно выплатить банку в течение всего срока кредитования.
Ответ: 396 000 рублей
Задача №7
15 января планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:
– 1-го января каждого года долг возрастает на a% по сравнению с концом предыдущего года;
– выплата части долга происходит в январе каждого года после начисления процентов.
Если переводить в банк каждый год по 2 073 600 рублей, то кредит можно выплатить за 4 года. Если переводить по 3 513 600 рублей, то за 2 года.
Найдите a.
Решение
+
+
+
=
+
, 1+0,01a0.
20736+
+
+
= 35136+
;
+
-
-14400 = 0. Пусть 1+0,01a = х;
+
-
-14400 = 0;
20736(1+х) - 14400х2(1+х) = 0;
(1+х)(20736 - 14400 х2) = 0;
| 1+х = 0 | 20736 - 14400 х2 = 0; | х2 = 1,44; |
| х = -1 | х1 = - 1,2, | х2 =1,2. |
| 1) 1+0,01a = -1; | 2) 1+0,01a = - 1,2; | 3) 1+0,01a =1,2; |
| 0,01a = -2; | 0,01a = - 2,2; | 0,01a = 0,2; |
| а = -2 (не имеет смысла). | а = - 220.(не имеет смысла). | а = 20 |
Ответ: 20%
Использована формула [2]: если вклад на Х рублей полностью расходуется за n ежегодных выплат, равных v1 ,v2 ,..., vn , осуществлённых после начисления р % по вкладу, то
Х = 
+
+...+
.
Задача №8
15 июля взяли кредит в банке. Условия его возврата были таковы:
– 1-го января каждого года долг возрастает на 14 % по сравнению с концом предыдущего года;
– выплата части долга происходит с февраля по июнь каждого года после начисления процентов.
Кредит был погашен двумя равными платежами по 4 548 600 рублей (то есть за два года). Какую сумму банк выдал в кредит?
Решение
Х = 
+ 
= 
+ 
= 3 990 000 + 3 500 000 = 7 490 000 (руб.)
– сумма, которую банк выдал в кредит.
Ответ: 7 490 000 рублей
Задача №9
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 6 902 000 рублей. Условия его возврата таковы:
– 1-го января каждого года долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года;
– выплата части долга происходит в январе каждого года равными суммами после начисления процентов.
Какую сумму нужно возвращать банку ежегодно, чтобы выплатить долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Решение
Х = 
+
+
+
; 6902000 = v(
+
+
+
);
6 902 000 = v 
;
6 902 000 = v
;
v = 
=3506 561 = 2 296 350 (руб.) – сумма,
которую нужно возвращать банку ежегодно.
Ответ; 2 296 350 рублей
Задача №10
15 января 2012 года банк выдал кредит на сумму 1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:
– 1-го января каждого года долг возрастает на a% по сравнению с концом предыдущего года;
– выплата части долга происходит в январе каждого года после начисления процентов.
Кредит был погашен за два года, и при этом в первый год была переведена сумма в 600 тыс. рублей, а во второй раз – 550 тыс. рублей.
Найдите a.
Решение
1 000 000 = 
+
; 20 = 
+
; 20(1+0,01a)2 – 12(1+0,01a)
– 11 = 0.
Введём новую переменную: 1+0,01a = х и решим уравнение 20х2 – 12х – 11 = 0. D = 1024 = 322.
| х1 = - 0,5 | х2 = 1,1, |
| 1). 1+0,01a = -0,5; | 2). 1+0,01a = 1,1; |
| 0,01a = -1,5; | 0,01a = 1,1; |
| a = -150 (не имеет смысла). | a = 10. |
Ответ: 10%
Список литературы
- ЕГЭ-2016: Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену: профильный уровень / под ред. И. В. Ященко. – Москва: АСТ: Астрель, 2016. – 135 с. – (Государственная итоговая аттестация).
- Математика. ЕГЭ. 2015. Книга II. Профильный уровень / Д. А. Мальцев, Л. И. Мальцева. – Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д. А.; М.: Народное образование, 2015. – 412 с.