Искусство удивлять детей средствами математики

Каждому учителю приятно, когда на уроке дети смотрят на него с нескрываемым восхищением, ловят каждое его слово, не отрываясь, следят за каждым его движением. Но авторитет учителя не появляется сам собой, его надо заслужить. Чтобы это сделать, надо задать себе вопрос: “Что нравится детям?” А детям нравится многое, и, в частности, им нравится все необычное и удивительное. Но что необычного может сделать учитель на своем уроке? Да все что угодно! Например, он может встать с ног на руки и так пройти по классу. И это, несомненно, поднимет интерес ребят к этому учителю. Но гораздо более тонким искусством я считаю умение учителя удивить детей своим собственным предметом, в моем случае это математика. В моем педагогическом арсенале есть несколько приемов, позволяющих привлечь пристальное внимание всего класса за счет того, что дети удивляются и, как создания от природы любознательные, пытаются разобраться в том, что их так удивило.

Математические фокусы.

Вместо традиционного устного счета я говорю учащимся: “Пусть каждый из вас задумает какое-нибудь число. Теперь прибавьте к нему 5, результат умножьте на 2, отнимите задуманное число, прибавьте 90, еще раз отнимите задуманное число. Получилось 100!”.

Когда я “показываю фокусы” в классе впервые, удивлению детей не бывает предела. Они не понимают, почему задуманные числа у всех были разные, а результат получился один и тот же. Это интригует их настолько, что они просят меня “показывать фокусы” снова и снова (а они в это время тренируют свою способность считать устно), до тех пор, пока не разгадают секрет, а секрет здесь очень простой: (х + 5)-2-х + 90-х = 2х + 10-х + 90-х = 100. Но даже когда секрет разгадан, интерес к фокусам не пропадает: по понятному теперь принципу ученики придумывают фокусы сами и показывают их родителям и друзьям. Я привел здесь самый простой из известных мне математических фокусов, его я показываю в 5-6 классах. Но есть и более сложные фокусы, для обоснования которых требуются и другие знания, а значит, появляется мотивация к тому, чтобы эти знания получить.

Хитрость с фигуркой из бумаги.

Поставьте на стол фигурку из бумаги, изображенную на рисунке и предложите детям, внимательно рассмотрев ее, сделать такую же. Но в руки ее брать нельзя и клеить ничего нельзя!

Ответ: Лист плотной бумаги согнуть по пунктирной линии и надрезать по сплошным линиям; заштрихованную часть повернуть на 180? вокруг сгиба и поставить фигурку так, чтобы с каждой стороны было по одной узкой и одной широкой ножке.

Фокус с календарем.

Ученик выбирает на календаре любой месяц и отмечает в нем любой квадрат, содержащий 9 чисел. Называет учителю меньшее из чисел (А) и учитель объявляет сумму всех девяти чисел: (А+8)9. Почему?

Рассмотрим произвольный фрагмент календаря:

Необычные задачи.

Необычные математические задачи я коллекционирую уже много лет. Порой они очень помогают привлечь внимание детей и “разбудить” тех, кто еще “не проснулся”.

Приведу пример. Начинается урок по теме “Окружность, описанная около треугольника”. На этом уроке мне нужно, чтобы учащиеся определили, где находится центр этой окружности. Я могу поставить перед ними задачу: “Дан треугольник АВС. Как найти центр окружности, описанной около треугольника?”,

Три соседа мужика Федор, Яков и Лука,
Чтоб всегда с водою жить,
Стали свой колодец рыть.
Но Лука вдруг говорит:
“Ведь момент один забыт!
Нужно длины всех дорог
От колодца на порог
Сделать равными, друзья!
Допускать обид нельзя”.
Можно ль это сделать им?
И смекни путём каким?

В обоих вариантах требуется одно и то же: найти точку, равноудаленную от всех вершин треугольника, но при проведении урока разница этих задач поразительна! Если я говорю: “Решим задачу: дан треугольник АВС...”, то это начало традиционного урока. К треугольникам АВС дети привыкли, они не вызывают никакого эмоционального отклика. Но если я начинаю урок геометрии словами: “Три соседа мужика...”, то на меня поднимается столько пар удивленных глаз, сколько учащихся присутствует в данный момент в классе. На лицах написано: “Не заболел ли сегодня Анатолий Николаевич? У нас геометрия, а у него три мужика роют колодец!?!” Внимание детей на этом уроке мне гарантировано.

Пожар на острове. Человек находится на острове. Из-за долгой засухи трава и кусты на острове сильно пересохли. Внезапно на одном конце острова возник пожар, и ветер погнал огонь в сторону человека. Спастись в море человек не может, так как в море у самого берега плавает множество акул. Берегов без растительности на острове нет. Как человеку спастись?

Решение:

Человеку нужно зажечь огонь на подветренной от себя стороне и немного отойти навстречу основному пожару. Ветер погонит огонь, зажженный человеком, к подветренному концу острова. Когда этот участок выгорит, человек сможет вернуться на него и спокойно ждать, пока основной пожар дойдет до этого участка и погаснет, так как гореть уже будет нечему.

Два числа. Назовите два числа, у которых количество цифр равно количеству букв, составляющих название каждого из этих чисел.

Ответ: "сто" - 100; "миллион" - 1000000

Математические парадоксы.

Математические парадоксы подразумевают доказательство двух совершенно противоположных утверждений, причем на первый взгляд оба эти доказательства верны.

Пример. Длина отрезка АВ больше длины отрезка МР. На каком из этих отрезков больше точек?

Утверждение 1: на этих отрезках точек поровну.

Доказательство: Расположим отрезки как показано на рис.1. Проведем прямые МА и РВ, они пересекутся в точке О. Теперь проводя через точку О прямые, пересекающие отрезки, мы можем поставить в соответствие каждой точке отрезка МР одну и только одну точку отрезка АВ, а значит, количество точек на отрезках одно и то же.

Утверждение 2: на отрезке АВ точек больше.

Доказательство: расположим отрезки как показано на рис.2. Проведем прямую АМ. Через точку Р проведем параллельную ей прямую. Данная прямая пересечет прямую АВ в точке К. Отрезки АК и РМ равны, а значит, на них и поровну точек. Но на отрезке АВ кроме точек отрезка АК есть еще и точки отрезка КВ, а значит, на отрезке АВ точек больше, чем на отрезке МР.

Рис.2.

Мне рассказывала бабушка. Как-то раз к продавщице мороженого пришёл необычайно хитрый покупатель. Он протянул ей десять монет по 5 копеек и заказал мороженое. Продавщица удивилась:

- Мороженое-то стоит 5 рублей! А у вас 50 копеек.

- Смотрите, полрубля равно пяти копейкам, а полрубля по десять раз, - он потряс монетками в руке, - это и есть 5 рублей.

- Но ведь пять копеек - не полрубля!

- А как же? Смотрите. 1/4 рубля = 25 копеек. Извлечём корень из обеих частей равенства. Получится: 1/2 рубля=5 копеек.

- А в рубле-то 100 копеек!

- Да смотрите же: 100 копеек = 1 рубль. Опять извлечём корень из обеих частей. 10 копеек = 1 рубль.

Вот так покупатель обхитрил продавщицу.

Я напишу вам доказательство такого "факта" – дважды два равно пяти. Посмотрите теперь на карточки, которые перед вами.

Когда я рассматриваю на уроке парадокс, а значит, доказываю два совершенно противоположных утверждения, ученики удивляются неимоверно. Ситуация, когда они доказывают, а я возражаю и нахожу ошибки, им очень знакома. А вот когда учитель возражает сам себе, да еще и средствами своей же математики, да еще и непонятно, какое же из утверждений верно на самом деле, где кроется ошибка в другом доказательстве - это поистине удивительно. Я никогда не раскрываю “секрет” парадокса на том же уроке и учащиеся уходят с урока, не переставая думать о математике, потому что им интересно разгадать парадокс. И если кому-то из ребят удается разгадать “секрет”, я вижу это по его лицу, как только он входит в класс. Несомненно, это стоит того, чтобы каждый учитель потрудился найти в своем предмете нечто удивительное для своих учеников! Практика показывает, что при решении таких задач создаются благоприятные возможности для проявления инициативы и самостоятельности учащихся, развития их творческого потенциала