20 лет назад в газете “Математика” – приложении к газете “Первое сентября” № 27-28/94 профессором А.Г. Мордковичем были опубликованы семинары для молодых учителей математики. Совершенно случайно в начале июня я стала обладательницей этого номера газеты. Меня потрясли статьи профессора. Не расставалась с газетой все лето, изучала, конспектировала, провела цикл уроков в летнем математическом лагере проекта Е.В. Смыкаловой “Математические каникулы”, и поняла, что просто обязана поделиться этим сокровищем с коллегами. Ни в коем случае не претендуя на авторство, сделала по этим семинарам цикл уроков повторения в 9 и в 10 классе (и в 11 – учитывая важность планиметрической задачи в ЕГЭ). Следуя духу времени, для большей наглядности и заинтересованности учащихся, я создала презентации, одной из которых и хочу поделиться с коллегами.
Из семинара профессора (первый семинар посвящен треугольникам и четырехугольникам):
В школьном курсе планиметрии изучается около 100 различных теорем. Как выбрать ту, которая поможет в решении конкретной задачи? При решении геометрических задач как правило нет алгоритмов, и выбрать наиболее подходящую к данному случаю теорему из большого количества не просто. Основной совет профессора А.Г. Мордковича – “хочешь научиться решать геометрические задачи – решай их”. Но есть общие положения, которые полезно знать решающему геометрическую задачу.
При решении геометрических задач обычно используются три основных метода: геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем; алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений; комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других – алгебраическим.
Пояснительная записка к урокам повторения «Учись решать задачи»
Автор – Мордкович Александр Григорьевич.
Пересказ и презентация – Павлова Марина Константиновна, учитель математики.
Предмет – геометрия, 9-11 классы
Перечень ресурсного обеспечения:
- компьютер,
- проектор,
- экран,
- авторская презентация (среда POWER POINT);
Цель создания и использования презентации на занятии – развивает интерес к предмету, придает яркость и эмоциональный окрас самому уроку.
Продолжительность занятий – цикл уроков в зависимости от возможностей учащихся.
Цель: создание условий для развития умений обучающихся анализировать, точно и грамотно излагать свои мысли, повторения курса геометрии, успешной сдачи ГИА и ЕГЭ.
- Личностные результаты: быть готовым и способным к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.
- Метапредметные результаты:
- Личностные УУД (мотивация): уметь развивать мотивы и интересы своей познавательной деятельности;
- регулятивные УУД (планирование): уметь самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;
- коммуникативные УУД: уметь организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками; работать индивидуально и в группе.
- познавательные УУД: осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач; уметь создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач;
- личностные УУД (творчество): уметь самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей
- Личностные УУД (контроль и оценка): умение соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата
- Предметные результаты: повторить свойства треугольников и четырехугольников, формулы, связанные с этими фигурами, научиться применять формулы для решения задач.
Место урока в теме: первые уроки
геометрии в начале года как вводное повторение,
либо заключительные уроки повторения в конце
года.
Используемые технологии: проблемное
обучение
Ожидаемые риски достижения цели, способы их
избегания: ошибки в вычислениях, неверное
использование формул – необходимо периодически
выполнять проверку выполнения заданий.
Комментарии к презентации Геометрия – 1.
Треугольники и четырехугольники
(все чертежи выполнены в программе “Живая
математика”).
№ слайда |
Текст |
Советы |
| 1 | Заголовок | |
| 2 | Полезные факты и теоремы. О равенстве углов со взаимно перпендикулярными сторонами.  |
Приводится чертеж и даны ссылки на
задачи №1, №2 и №5, которые используют этот факт. Нажав на зеленую кнопку “Задача 1”, Вы попадаете на слайд №13 с текстом задачи №1. Задача занимает слайды №13-15, вернуться – кнопка “Нужный факт”. Нажав на зеленую кнопку “Задача 2”, Вы попадаете на слайд №16 с текстом задачи №2. Задача занимает слайды №16-17, вернуться – кнопка “Нужный факт”. Нажав на зеленую кнопку “Задача 5”, Вы попадаете на слайд №23 с текстом задачи №5. Задача занимает слайды №23-24, вернуться – кнопка “Нужный факт”. |
| 3 | Полезные факты и теоремы. О точках пересечения медиан, биссектрис, высот треугольника. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентр треугольника). Три медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроид треугольника) и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. |
Нажав на кнопку “Задача 4”, Вы попадаете на слайд №19 с текстом задачи №4, задача занимает слайды №19-22, вернуться – кнопка “Нужный факт” (расположена только на слайдах 19-20). |
| 4 | Полезные факты и теоремы. Свойства средней линии трапеции. Средняя линия параллельна основаниям трапеции. Средняя линия равна полусумме оснований трапеции. Средняя линия (и только она) делит пополам любой отрезок, заключенный между основаниями трапеции. Эти теоремы справедливы и для средней линии треугольника |
Нажав на зеленую кнопку “Задача 6”, Вы попадаете на слайд №25 с текстом задачи №6. Задача занимает слайды №25-27, вернуться – кнопка “Нужный факт” (расположена только на слайде 25). |
| 5 | Полезные факты и теоремы. Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Обратная теорема. Если в треугольнике одна из медиан равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный. |
Нажав на зеленую кнопку “Задача 5”, Вы попадаете на слайд №23 с текстом задачи №5. Задача занимает слайды №23-24, вернуться – кнопка “Нужный факт”. |
| 6 | Полезные факты и теоремы. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону, к которой она проведена, на части, пропорциональные прилежащим сторонам. |
Приводится чертеж и дана ссылка на задачу, которая использует этот факт. |
| 7 | Полезные факты и теоремы. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.  – теорема
Пифагора |
Приводится чертеж и дана ссылка на задачу, которая использует этот факт. |
| 8 | Полезные факты и теоремы. Определение вида треугольника по его сторонам. Пусть а, b и с – стороны треугольника, причем с – наибольшая сторона, тогда: если с2 < а2 + b2, то треугольник остроугольный; если с2 = а2 + b2, то треугольник прямоугольный; если с2 > а2 + b2, то треугольник тупоугольный. |
Приводится чертеж и дана ссылка на задачу №9, которая использует этот факт. Нажав на кнопку “Задача 9”, Вы попадаете на слайд №34 с текстом задачи №9, вернуться – кнопка “Нужный факт”. |
| 9 | Полезные факты и теоремы. Метрические соотношения в параллелограмме. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: d12 + d22 = 2a2 + 2b2. |
Приводится чертеж и дана ссылка на
задачу №3, которая использует этот факт. Нажав на кнопку “Задача 3”, Вы попадаете на слайд №18 с текстом задачи №3, вернуться – кнопка “Нужный факт”. |
| 10 | Полезные факты и теоремы. Обобщенная теорема подобия. Если два треугольника подобны, то любой линейный элемент (или сумма линейных элементов) одного треугольника относится к соответствующему линейному элементу (или сумме соответствующих линейных элементов) другого треугольника как соответственные стороны (линейными элементами являются соответственные медианы, высоты, биссектрисы, периметры, радиусы описанной и вписанной окружностей) |
Дана ссылка на слайд №36 с задачей №9, которая использует этот факт, вернуться – кнопка “Нужный факт”. |
| 11 | Три пути доказательства равенства
отрезков. Рассмотреть эти отрезки как стороны двух треугольников и доказать, что треугольники равны. Рассмотреть эти отрезки как стороны одного треугольника и доказать, что треугольник равнобедренный. Заменить отрезок а равным отрезком а1, отрезок b равным отрезком b1 и доказать равенство отрезков а1 и b1. |
|
| 12 | Дополнительные построения. Проведение прямой, параллельной или перпендикулярной одной из имеющихся. Удвоение медианы треугольника с целью достроить треугольник до параллелограмма. Проведение вспомогательной биссектрисы. Дополнительные построения, связанные с окружностью. |
|
| 13 | Задача № 1. Две взаимно перпендикулярные прямые пересекают стороны АВ, ВС, CD, AD квадрата ABCD в точках E, F, K, L соответственно. Докажите, что ЕК = FL. |
Слайд содержит только условие задачи и
чертеж. Кнопка “Нужный факт” переключает на слайд №2. Можно обсудить условие, выслушать предложения учащихся. |
| 14 | Задача № 1. Проведем прямые, параллельные сторонам квадрата, … |
По щелчку появляется чертеж с дополнительным построением. |
| 15 | Задача № 1. … тогда интересующие нас стороны ЕК и FL станут гипотенузами двух прямоугольных треугольников. Доказав равенство треугольников, докажем равенство гипотенуз. |
Предложите учащимся доказать равенство прямоугольных треугольников. |
| 16 | Задача № 2. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC вне его построены квадраты ABDE и BCKM. Докажите, что отрезок DM в два раза больше медианы BP треугольника ABC. |
Слайд содержит условие задачи и чертеж. Кнопка “Нужный факт” переключает на слайд №2. Можно обсудить условие, выслушать предложения учащихся |
| 17 | Задача № 2. Решение. Применим прием удвоения медианы, докажем, что ABCF – параллелограмм. Затем докажем равенство треугольников DBM и BCF, сделаем вывод о равенстве DM и BF. Учтем свойство диагоналей параллелограмма, откуда следует, что DM = 2BP. |
Предложите учащимся доказать, что ABCF – параллелограмм, затем равенство треугольниковDBM и BCF. |
| 18 | Задача № 3. Стороны треугольника а, b, c. Вычислить медиануmc, проведенную к стороне с. Решение. Применим прием удвоения медианы докажем, что ABCР – параллелограмм. Затем применим к этому параллелограмму свойство: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: CP2 + AB2 = 2AC2 + 2BC2, т.е. (2mc)2 + c2= 2b2 + 2a2. Выразим  |
Слайд содержит условие задачи и чертеж. Кнопка “Нужный факт” переключает на слайд №9. |
| 19 | Задача № 4. Доказать, что в любом треугольнике сумма медиан меньше периметра, но больше 3/4 периметра. Предлагается краткий план решения. |
Слайд содержит условие задачи и чертеж. Кнопка “Нужный факт” переключает на слайд №3. |
| 20 | Задача № 4. Сначала докажем, что сумма медиан больше 3/4 периметра.  |
Используем свойство точки пересечения медиан и неравенство треугольника. На слайде приведено достаточно полное доказательство. |
| 21 | Задача № 4. Сложив почленно три полученных неравенства докажем, что сумма медиан больше 3/4 периметра. |
Предложите учащимся провести
аналогичные рассуждения для  BМС и ABМ. |
| 22 | Задача № 4. Теперь докажем, что сумма медиан меньше периметра. Удвоим медиану ABС
и рассмотрим BСК |
|
| 23-24 | Задача № 5. Доказать, что в неравнобедренном прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведенной из той же вершины. |
Слайд содержит условие задачи и чертеж. Кнопка “Нужный факт 1” переключает на слайд №2. Кнопка “Нужный факт 2” переключает на слайд №5. На слайдах полное решение задачи. |
| 25-27 | Задача № 6. В параллелограмме со сторонами а и b проведены биссектрисы внутренних углов. Найдите длины диагоналей четырехугольника, образованного в пересечении биссектрис. |
Слайд содержит условие задачи и чертеж. Кнопка “Нужный факт” переключает на слайд №4. Все появляется по щелчку мыши. На слайдах полное решение задачи. |
| 28 | Важный результат задачи 6. Биссектрисы углов, прилегающих к боковой линии трапеции, пересекаются под прямым углом в точке, лежащей на средней линии трапеции. |
|
| 29 | Замечание, которое пригодится для
решения следующей задачи. Основным методом составления уравнений в геометрических задачах является метод опорного элемента. Он заключается в том, что один и тот же элемент (сторона, угол, площадь, радиус и т.д.) выражается через известные и неизвестные величины двумя различными способами и полученные выражения приравниваются. В качестве опорного элемента часто выбирается площадь фигуры. Тогда говорят, что используется метод площадей. |
|
| 30 | Задача № 7. Стороны треугольника а, b и с. Вычислить высоту hc, проведенную к стороне с. Решение. Высота hc является общим катетом двух прямоугольных треугольников АСН и СНD. Пусть АН = х, тогда ВН = с – х. (Если треугольник АСВ тупоугольный, то ВН = с + х) Воспользовавшись теоремой Пифагора найдем СН2 из АСН и
СНD.Тогда из уравнения b2 – x2 = a2 – (c – x)2 получим  . Из АСН найдем СН:
,   . |
Слайд содержит условие задачи и чертеж. Сначала рассматривается случай остроугольного треугольника. Случай тупоугольного треугольника после обсуждения можно предложить для домашней работы. Полезно решить эту же задачу, используя метод площадей. С одной стороны  , с другой стороны  . |
| 31 | Замечание, которое пригодится для
решения следующей задачи. Если в задаче требуется найти отношение каких-либо величин, то она решается методом введения вспомогательного параметра. В начале решения задачи какая-либо линейная величина принимается как известная. Обозначив ее буквой а, выражаем через нее те величины, отношение которых требуется найти. Тогда при составлении искомого отношения вспомогательный параметр а сократится. |
|
| 32-33 | Задача № 8. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ВН высота. На стороне ВС взята точка D так, что BD : DC = 1 : 4. Найдите в каком отношении отрезок AD делит высоту ВН. |
Слайды содержат условие задачи, чертежи и полное решение. |
| 34-36 | Задача № 9. В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см, вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на одной стороне треугольника, а две вершины – на двух других сторонах треугольника. Найти стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 22,5 см. |
Слайды содержат условие задачи и
чертеж. Кнопка “Нужный факт” переключает слайд №34 на слайд №8, а слайд №36 на слайд №10. На слайдах полное решение задачи. |
| 37-38 | Задача № 10. В треугольнике АВС известно, что угол А в два раза больше угла С, сторона ВС на 2 см больше стороны АВ, а АС=5 см. Найти АВ и АС. |
Слайды содержат условие задачи и
чертеж. На слайдах полное решение задачи. |
| 39 | Спасибо за внимание! |
Примечание. Это первый из восьми
семинаров профессора А.Г.Мордковича. Буду рада,
если коллегам понравится моя презентация.
Литература:
- А. Г. Мордкович. Семинары для молодых учителей математики. Газета “Математика” – приложение к газете “Первое сентября” № 27-28/94.
- Геометрия. 7-9 классы. Учебник. Атанасян Л.С. и др. – М.: Просвещение, 2012, 384с.