Алгоритмы-решатели некоторых стереометрических задач, основанные на координатном и векторно-координатном методах

Разделы: Математика

Введение.
Задачи части «С» Единого государственного экзамена по стереометрии относятся  к задачам, требующих высокого уровня подготовки. Полное решение каждой задачи состоит из теоретической части, заключающейся в обосновании взаимного расположения элементов заданной стереометрической конфигурации, и вычислительной части. Последнее время большей частью они посвящены вычислению расстояний и углов в пространстве.

В работу вошли пять алгоритмов: «Расстояние от точки М до прямой АВ», «Расстояние от точки М до плоскости », «Угол между прямыми АВ и СD», «Угол между прямой АВ и плоскостью», «Угол между плоскостями ». Все алгоритмы дополнительно оформлены в виде брошюры (Приложение) и презентации (Презентация).

Несложные арифметические действия, небольшое количество «новых» формул, минимальное число дополнительных геометрических построений позволяют выпускникам рационально использовать силы и время на экзамене и при подготовке к нему.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
Расстояние от точки M до прямой AB, обозначаемое  ρ(M; AB),  вычисляют, как длину высоты МН, опущенной из точки M на основание AB (или ее продолжение) ABM.

Алгоритм  «Расстояние от точки М до прямой АВ»

  1. Связать прямоугольную систему  координат с данным геометрическим телом.
  2. Определить координаты точек М, А, В.
  3. Вычислить длины сторон треугольника АВМ, применяя формулу расстояния  между точками.
  4. Используя теорему косинусов, вычислить значение cos A или cos B
  5. Опираясь на основное тригонометрическое тождество, найти sin A или sin B
  6. МН является катетом как прямоугольного треугольника АНМ, так и прямоугольного треугольника ВНМ. Вычислить МН по формуле  МН=АМили  МН=МВ

Алгоритм  «Расстояние от точки М до прямой АВ» можно использовать при решении задач не только по теме  «Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку»,  но и по теме «Расстояние между двумя параллельными прямыми».

Потому что,  расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Расстояние от точки M (x0 ,y0 ,z0) до плоскости α, заданной уравнением ax + by + cz + d = 0, можно вычислить по формуле

Алгоритм «Расстояние от точки М до плоскости» α

  1. Связать прямоугольную систему  координат с данным геометрическим телом.
  2. Определить координаты точки М, не лежащей в плоскости α и трех точек: А, В, C плоскости α, не лежащих на одной прямой.
  3. Вывести уравнение плоскости α. Для этого нужно взять в общем виде уравнение плоскости ax + by + cz + d = 0, в котором a, b, c, d – неизвестные числа. Подставив в него координаты точек , получить систему уравнений:

Решив её, определить значения коэффициентов a, b, c, d .
Расстояние от точки M (x0, y0, z0) до плоскости , заданной уравнением ax + by + cz + d = 0, вычислить по формуле

Алгоритм «Расстояние от точки М до плоскости α» разумно использовать как при решении задач по темам «Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку», так и по темам: «Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью», «Расстояние между двумя параллельными плоскостями». Так как расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости, а расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Угол между плоскостями

Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0o, 90o].
Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0o.

Алгоритм «Угол между плоскостями α и β».

  1. Связать прямоугольную систему  координат с данным геометрическим телом.
  2. Определить координаты трех точек: А, В, C плоскости α, не лежащих на одной прямой. И координаты трёх точек: Р, R, T плоскости β, не лежащих на одной прямой
  3. Вывести уравнения плоскостей α и β. Для этого нужно взять в общем виде уравнение плоскости , в котором a1, b1, c1, d1 – неизвестные числа. Подставив в него координаты точек , получить систему уравнений:

    Решив её, определить значения коэффициентов a1, b1, c1, d1.
    Затем, подставив в  уравнение плоскости   координаты точек получить систему уравнений:

    Решив её, определить значения коэффициентов a2, b2, c2, d2,
  4. Используя формулу  , вычислим косинус искомого угла.
  5. Определить угол между плоскостями, используя равенство

Угол между двумя прямыми

Величина угла между двумя пересекающимися прямыми принадлежит промежутку (0o, 90o].
Угол между параллельными прямыми считается равным 0o.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

При нахождении угла α  между двумя прямыми используют формулу или в координатной форме , где  – векторы, соответственно параллельные этим прямым.

Алгоритм «Угол между прямыми АВ и СD»

  1. Связать прямоугольную систему  координат с данным геометрическим телом.
  2. Определить координаты четырёх точек: А, В, C и D.
  3. Вычислить координаты векторов
  4. Вычислить косинус искомого угла, используя формулу где
  5. Определить угол между прямыми  АВ и СD, используя равенство

Угол между прямой и плоскостью

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Величина угла принадлежит промежутку (0o, 90o).
Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90o.
Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0o.

Алгоритм «Угол между прямой АВ и плоскостью α».

  1. Связать прямоугольную систему  координат с данным геометрическим телом.
  2. Определить координаты пяти точек: А, В, C, D и Е,  где  C, D и Е – точки плоскости α, не лежащие на одной прямой.
  3. Вычислить координаты вектора
  4. Определить координаты одной из трёх пар векторов плоскости α:
  5. Вычислить координаты вектора перпендикулярного плоскости α, решив систему уравнений 
  6.  Вычислить синус искомого угла, используя формулу , где .
  7. Определить угол между прямой  АВ и плоскостью α, используя равенство