Тригонометрические уравнения. Методы их решения. Метод замены переменной. 10-й класс

Основные цели:

1. Закрепить методы решения простейших тригонометрических уравнений.
2. Сформулировать один из основных методов решения тригонометрических уравнений - метод замены переменной.
3. Научить решать тригонометрические уравнения методом замены переменной.
4. Заложить основы для классификации тригонометрических уравнений, что в дальнейшем позволит ученикам по виду тригонометрического уравнения определять наиболее. эффективный способ его решения.
5. Способствовать развитию математического аппарата и мыслительных способностей каждого конкретного ученика.

• Лекционно-семинарская система обучения (лекции - объяснение нового материала, семинары - решение задач).
• Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная работа с классом).
• Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы (в зависимости от конкретного класса: возможно часть задач (более сложных) предложить только наиболее сильным ученикам).
• Использование исследовательского метода в обучении, направленного на развитие математического аппарата и мыслительных способностей каждого конкретного ученика.
• Печатный материал - индивидуальный краткий конспект урока (основные понятия, формулы, утверждения, материал лекций сжато в виде схем или таблиц, список решаемых задач и домашнее задание).

1. Организационный момент.

Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока.

2. Актуализация знаний учащихся.

Цель этапа: актуализировать знания учащихся по изученным ранее смежным темам (повторяем решение простейших тригонометрических уравнений) и решаем несколько “модифицированных” задач, требующих применения ранее изученного материала и аналитического подхода.

3. Изучение новой темы.

Цель этапа: cформулировать один из основных методов решения тригонометрических уравнений – метод замены переменной.

4. Закрепление, решение задач.

Цель этапа: тренировать навыки решения задач по теме “Тригонометрические уравнения. Методы их решения. Метод замены переменной”.

5. Подведение итогов.

Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты в материале, изученном на уроке.

6. Домашнее задание.

Цель этапа: сформулировать домашнее задание для учащихся.

Формулировка темы урока: “Тригонометрические уравнения. Методы их решения. Метод замены переменной”.

2. Актуализация знаний учащихся. Приложение

Существуют различные методы решения тригонометрических уравнений. Сегодня мы будем рассматривать метод замены переменной, т.е. случай, когда уравнение имеет вид , где - некоторая тригонометрическая функция, а – произвольная функция (чаще всего нам будет встречаться степенная функция, в частности - квадратичная). Для решения уравнений такого типа надо произвести замену переменной вида . Решить полученное алгебраическое уравнение относительно . Учесть, какие значения может принимать эта переменная, рассматривая, какая именно тригонометрическая функция фигурирует в замене. Выполнить обратную замену переменной, решив полученное(-ые) в результате уравнение(-я) относительно неизвестной переменной .

4. Закрепление, решение задач. Приложение

Резюме: Теперь мы овладели одним из основных методов решения тригонометрических уравнений – методом замены переменной. В дальнейшем в зависимости от вида тригонометрического уравнения мы должны научиться понимать, какой способ решения будет в данном случае наиболее эффективным, а также правильно применять выбранный метод.

6. Домашнее задание. Приложение

Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:

Выше приведены задания, которые можно использовать в качестве проверочной работы по теме “Тригонометрические уравнения. Методы их решения. Метод замены переменной”. Уравнения в списке подобраны по мере нарастания сложности. Набор заданий для самостоятельной работы подбирается из этого списка для конкретного класса из расчета на 1 учебный час. Можно включить в работу задания №№1-8, а более сложные задания №№9-21 или выдать в качестве домашнего задания, а затем разобрать на другом уроке, или использовать во внеурочной деятельности.

Проверка работ учащихся показывает, что материал по этой теме усваивается достаточно хорошо. У отдельных учащихся затруднения вызывают задачи, в которых есть необходимость отбора корней с учетом ОДЗ. Главная сложность обычно состоит в том, чтобы привести рассматриваемое тригонометрическое уравнение к такому виду, из которого явно видно, какую замену переменной следует выполнить. После разбора работ учащиеся выполняют работу над ошибками. Тем, кто не справился с частью задач, предлагается решить аналогичные задачи из другого варианта. Результаты повторной проверки обычно показывают, что все учащиеся данную тему осваивают успешно.

Интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность упрощать задачу за счет перехода от тригонометрического уравнения к уже знакомому им алгебраическому. В итоге задача сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения. Также учащиеся интересуются тем, какие типы замены переменных встречаются наиболее часто. Это позволяет им при решении задач быстро определять, какой метод решения будет наиболее эффективным для данного уравнения.

1. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. “Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)”. - М., Мнемозина, 2009. – 351 с.
2. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. “Углубленное изучение алгебры и математического анализа: Методические рекомендации и дидактические материалы: Пособие для учителя”. - М., Просвещение, 1997. – 352 с.
3. Решетников Н.Н. “Тригонометрия в школе. Лекции 1-4”. - М., Педагогический университет “Первое сентября”, 2010. – 94 с.
4. Решетников Н.Н. “Тригонометрия в школе. Лекции 5-8”. - М., Педагогический университет “Первое сентября”, 2010. – 84 с.
5. Мордкович А.Г. Семенов П.В. “Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. Часть 1. Учебник. 10 класс.” - М., Мнемозина, 2007. - 424 с.
6. Шахмейстер А.Х. “Тригонометрия” - СПб, Петроглиф, 2009 – 752 с.