Урок изучения нового материала «Вынесение общего множителя за скобки». 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Цели:

  • Познавательная – рассмотреть понятия разложения многочлена на множители и вынесения общего множителя за скобки, научить применять эти понятия при выполнении упражнений.
  • Развивающая – развитие мышления, речи, памяти, умение выделить главное, оценивать значения.
  • Воспитывающая – воспитание общей культуры, активности, самостоятельности, умение общаться.

План урока: 

  1. Организационный момент;
  2. Проверка домашнего задания
  3. Актуализация опорных знаний
  4. Постановка цели урока;
  5. Объяснение новой темы
  6. Закрепление новой темы;
  7. Самостоятельная работа;
  8. Подведение итогов урока.

Ход урока:

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

Учитель: Давайте вспомним, что мы изучили на прошлом уроке?
Ученики: Умножение одночлена на многочлен.
Учитель: Кто напомнит нам правило умножения одночлена на многочлен?
Ученики: Чтобы умножить одночлен на многочлен,  нужно умножить это одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Учитель: Тогда проверим, как вы справились с домашним заданием.
{на экране номера с домашним заданием 628 (а), 631 (в, г), 636(а), 643}

Презентация

III. Актуализация опорных знаний

Учитель: Хорошо, правило вы помните, тогда проверим, как вы устно считаете. Выполнить умножение одночлена на многочлен, т.е. раскрыть скобки:

2х(х2 + 4ху – 3) = 2х3 + 8х2у – 6х
3(a + b + c) = 3a + 3b + 3c

Учитель: Молодцы, отлично справились, а какое свойство вы использовали?
Ученики: Распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
Учитель: Запишем на доске формулу: { a(b + c) = ab + ac  }
А теперь скажите, что получилось в результате умножения одночлена на многочлен в каждом из примеров?
Ученики: Многочлен.
Учитель: То есть, выполнив умножение, мы получили многочлен. Значит, представили произведение в виде многочлена. А сегодня на уроке мы научимся представлять многочлен в виде произведения одночлена и многочлена, то есть раскладывать многочлен на множители. Для этого выполним устно следующее задание. Преобразовать выражение.

23a + 37a = (23 + 37)a = 60a
32a + a = (32 + 1)a = 33a

Учитель: Как вы рассуждали при выполнении этих заданий?
Ученики: Приводили подобные слагаемые, а коэффициенты складывали.
Учитель: почему эти слагаемые или одночлены подобны?
Ученики: Потому что имеют одинаковую буквенную часть  «a».
Учитель: Значит, если подробно, то выполняем следующее: {записываю напротив примера} .
Учитель:  буква «a» является общим множителем?
Ученики: да.
Учитель: так какое свойство использовали?
Ученики: распределительное свойство умножения, только наоборот.
Учитель:  Таким образом, мы представили многочлен в виде произведения с помощью вынесения общего множителя за скобки. 
Записываем тему урока: «Вынесение общего множителя за скобки».

IV. Постановка цели урока

Сегодня на уроке мы рассмотрим понятия разложение многочлена на множители и вынесение общего множителя за скобки, сформулируем алгоритм вынесения общего множителя за скобки, научимся применять эти понятия при выполнении упражнений.

V. Объяснение новой темы

Учитель: При решении уравнений, в вычислениях и ряде других задач бывает полезно заменить многочлен произведением нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены). Представление многочлена в виде произведения двух или более многочленов называют разложением многочлена на множители. Оказывается, что разложение на множители выражения – это операция, обратная почленному умножению одночлена на многочлен. Рассмотрим тот же самый пример, который решали, но в обратном порядке. Разложить на множители – значит вынести за скобки общий множитель. 

2х3 + 8х2у – 6х = 2х (х2 + 4ху – 3).

Я приведу пример вынесения множителя за скобки в русском языке. В выражении “Взять книгу, взять ручку, взять тетрадь” функцию общего множителя выполняет глагол “взять”, а книга, тетрадь и ручка – это дополнения.
Это же выражение можно сказать по-другому “взять книгу, тетрадь и ручку”. Это то же самое, что 3а + 3в + 3с = 3 (а + в + с).
Найти общий множитель (задание на экране)
Рассмотрим многочлен 15x2y + 20y2x. каждый его член можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых равен 5xy: 

15x2y + 20y2x = 5xy3x + 5xy4y. 

Полученное выражение на основе распределительного свойства умножения можно представить в виде произведения двух множителей: 

5xy3x + 5xy4y = 5xy(3x + 4y ). 

Итак: 15x2y + 20y2x = 5xy(3x + 4y). 

Пример 1: Разложите на множители многочлен 5c(y – 2c) + y2(y – 2c)

В данном выражении мы видим, присутствует один и тот же множитель (y – 2c), который можно вынести за скобки. Итак, получим: 5c(y – 2c) + y2(y – 2c) = (y – 2c)(5c + y2).
Выражения (x–y) и (y–x) являются противоположными, поэтому в некоторых случаях можно пользоваться данным равенством x – y = – (y – x).

Пример 2: Разложите на множители многочлен a(c – b) + c2(b – c)

Здесь присутствуют противоположные выражения (c–b) и (b–c), воспользовавшись предыдущим тождеством, мы получим следующую запись: 

a(c – b) + c2(b – c) = a(c – b) – c2(c – b)

А теперь мы видим, что общий множитель можно вынести за скобки:

a(c – b) + c2(b – c) = a(c – b) – c2(c – b) = (c – b)(a – c2).

VI. Закрепление новой темы

Пример 3. Разложить на множители многочлен:  5a3 + 25ab – 30a2.

Решение. Вынесем общий множитель всех членов многочлена за скобки. Это одночлен 5а, потому что на 5а делится каждый из членов данного многочлена. Итак, 5а мы запишем перед скобками, а в скобках запишем частные от деления каждого одночлена на 5а.
5a3 + 25ab – 30a2 = 5a(a2 + 5b – 6a). Проверяем себя: если мы умножим 5а на многочлен в скобках a2 + 5b – 6a, то получим данный многочлен 5a3 + 25ab – 30a2.

Пример 4. Вынесите общий множитель за скобки: (x + 2y)2 – 4(x + 2y).

Решение.(x + 2y)2 – 4(x + 2y) = (x + 2y)(x + 2y – 4).

Общим множителем здесь является двучлен (х + 2у). Мы вынесли его за скобки, а в скобках записали частные от деления данных членов (x + 2y)2 и – 4(x + 2y) на их общий делитель (х + 2у). В результате мы представили данный многочлен в виде произведения двух многочленов (x + 2y) и (x + 2y – 4), другими словами, мы разложили многочлен (x + 2y)2 – 4(x + 2y) на множители.

Ответ:  (x + 2y)(x + 2y – 4).

Замечание. Иногда мы должны выносить за скобки дробный множитель, это делается из  за того, что иногда нам приходится работать с дробями т.к. других чисел просто нету. Например:

2,4x + 7,2y = 2,4(x + 3y)
3a/7 – 6b/7 + 9c/7 = (3/7)(a –2b + 3c).

Сформулируем алгоритм вынесения общего множителя за скобки:

1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, он и будет общим числовым множителем;
2. Найти общую буквенную часть для всех членов многочлена (выбрать наименьший показатель степени);
3. Произведение коэффициента и общей буквенной части, найденных на первом и втором шагах, является  общим множителем, который выносим за скобки;
4. Делим каждый член многочлена на вынесенный множитель и полученный результат записываем в скобках.

Важно! В скобках должно быть столько одночленов, сколько их было в многочлене.
Преобразовать многочлен (задание на экране).

VII. Самостоятельная работа

1 вариант                                                            2 вариант

1. 6x + 6y = 6(x + y)                                             1. 8a + 8b = 8(a + b)
2. 3xy – x2y2 = xy(3 – xy)                                      2. 4xy + x3y3 = xy(4 + x2y2)
3. 3a – 9ab = 3a(1 + 3b)                                       3. 36by – 6b = 6b(6y – 1)
4. abc – a2b2c2 = abc(1 – abc)                              4.  x2y2z2 + xyz = xyz(xyz + 1)
5. x2 – x = x(x – 1)                                                5. a2 + a = a(a + 1)
6. 3ab – 6b = 3b(a – 2)                                         6. 7bc –14c = 7c(b – 2)

Проверьте, правильно ли выполнено разложение на множители?

  1. 5a – 5b = 5(a + b);
  2. 3a2b – 2b = b(3a2 – 2);
  3. 2n + 6n2 – 4 = 2(n + 3n2 – 2);
  4. 9x + 27xy = 9(x + 3yx);
  5. ab + a = a(b + a);
  6. 8mn – 4m2 = 4m(2n – m2);
  7. 5x2 – x = x(5x – 1);
  8.  x – 3x2 = x(1 – 3x2).

VIII. Подведение итогов урока

(Систематизация новых знаний  с помощью метода незаконченных предложений)

Продолжите фразу:

– Cегодня на уроке мы изучали тему… (вынесение общего множителя за скобки);
– Одним из способов разложения многочлена на множители является… (вынесение общего множителя за скобки);
– При вынесении общего множителя за скобки применяется… (распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания);
– Если все члены многочлена содержат общий множитель, то…(этот множитель можно вынести за скобки);
– Мы составили алгоритм… (вынесения общего множителя за скобки)

{вспоминаем алгоритм}

Важно! После вынесения общего множителя за скобки, в скобках должно остаться столько слагаемых, сколько их было в данном многочлене.

Выставление оценок.

Домашнее задание: П. 28 № 656, 659, 666,670.