Неравенство с параметром. Координатно-параметрический и графический способы решения

Задачи с параметром являются наиболее сложными задачами ЕГЭ, поэтому познакомиться с некоторыми идеями их решения, освоить способы решения задач с параметром желательно как можно раньше. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления для учащихся физико-математических классов. Учащиеся с удовольствием решают те задачи с параметрами, в которых можно применять графические способы. К ним относятся: координатно-параметрический (в плоскости хОа) и графический (в плоскости хОу).

В своей работе я представляю решения неравенства с параметром этими способами, с использованием презентации. Эту презентацию можно использовать на уроке для наглядной демонстрации рассматриваемых способов решения.

Задача. Найти все значения параметра a, при которых неравенство выполняется для всех x. Презентация.

Способ 1 (метод областей) (слайды 2 – 9).

Построим в системе хОа геометрическое место точек (ГМТ), координаты которых удовлетворяют неравенству Относительно переменной а неравенство легко разрешимо, поэтому выражаем а через х (слайд 2).

Изобразим ГМТ (а – г) в одной системе координат (слайд 7).

Найдем точки пересечения графиков:

ГМТ – все точки (х; а), принадлежащие закрашенной области. Нужно найти значения а = а₀, удовлетворяющие условию задачи. а = а₀ – прямая, параллельная оси Ох, пересекающая ось Оа в точке а₀ должна принадлежать ГМТ. Все такие значения параметра удовлетворяют условию .

Способ 2 (графический в плоскости хОу) (слайды 8 – 9).

Введем функции Необходимо найти все значения параметра а, при которых . Графически это означает, что график функции у = f(x) находится выше графика функции у = g(x).

График функции у = f(x) – угол с вершиной на оси Ох в точке х = а и лучами, направленными вверх, который в зависимости от а движется вдоль оси Ох. Например, при а = 0 условия неравенства не выполняются, т.е. не при всех х. Найдем, при каких а при которых равны значения функций.

;

.

По графику определяем, что

Ответ: