Методы решения прикладных задач

I. Основное отличие  прикладных задач от текстовых

Прикладные задачи содержат слова: наименьший, наибольший, максимальный, минимальный.

II. Два способа решения прикладных (экстремальных) задач

• Исследование – метод, при котором составленная функция рассматривается на интервале или, когда от интервала нельзя перейти к отрезку.
• Метод, основанный на поиске наибольшего и наименьшего значений функции. В этом случае составленная функция рассматривается на отрезке или по непрерывности от интервала можно перейти к отрезку.

III. Алгоритм решения прикладных задач

1. Обозначить одну из величин за переменную (целесообразнее всего это сделать для величины, которую необходимо найти в ходе решения задачи; легче всего за неизвестную принять любой линейный размер).
2. Составить функцию, зависящую от этой величины. «Подсказкой» для составления такой функции и является одно из слов: максимальный, минимальный, наибольший и наименьший. Составляют функцию, характеризующую поиск той величины, к которой адресовано это «зависимое» слово.
3. Определяют границы изменения этой величины.
4. Находят производную и критические точки составленной функции.
5. Выбирают один из двух возможных способов решения и решают данную задачу.

Рассмотрим некоторые примеры решения таких задач.

Задача 1.

Найти число, которое, будучи сложеное со своим квадратом, даёт наименьшую сумму.

Решение: пусть х – искомое число, х2 – квадрат этого числа. Рассмотрим функцию S(x)=x+x2 по условию задачи х є R, S(x) дифференцируема на R. Найдём S'(х) и критические точки:

S'(х) = (х + х²)' = 1 + 2х; S'(х) = 0 при 1 + 2х = 0, х = –

Таблица 1.

На промежутке (– ,  – )  S'(х)<0, значит, S(х) убывает; на промежутке (– , +) S'(х) > 0, поэтому S(х) возрастает. При переходе через точку х = – 0,5 знак S(х) меняется с «–» на «+», значит х = – 0,5 – точка минимума.
Так как функция S(х) непрерывна на всей числовой прямой и имеет там единственный экстремум, а именно минимум, то минимум S(х) совпадает с наименьшим значением функции S(х) при х є R.

Ответ: – 0,5 – искомое число.

Задача 2.

В АВС с основанием 4 м. и высотой 3м. вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти площадь этого прямоугольника, если одна из его сторон лежит на основании треугольника.

Решение:

Sпрям = МТ · ТК. Пусть КТ = а, МТ = в, тогда Sпрям = а · в,

РВК подобен АВС по двум углам. <В – общий, <ВРК = < ВАС, как соответственные при параллельных прямых (РК| | АС) и секущей АВ.  Поэтому .

Рассмотрим функцию

По условию задачи а є (0, 3). Так как S(а) непрерывна при любом а, то будем её рассматривать на отрезке [0, 3]. Функция дифференцируема на этом отрезке.

Найдем S'(а) =
Наибольшее значение функции S(а) достигается внутри отрезка [0, 3], а значит, внутри интервала (0, 3).

Ответ: 3 м².

Задача 3.

Найти координаты точки графика у = х² –1,5, ближайшей к точке А(2,–1).

Решение: пусть х₀ – абсцисса искомой точки, тогда её ордината  у₀ =  М (х₀, х₀² –1,5) – искомая точка.
Так как точка М ближайшая к точке А, то расстояние от точки М до точки А должно быть наименьшим; обозначим d = АМ; составим функцию ;
так как d(x₀) > 0 при x₀ є R, то рассмотрим квадрат функции  d²(х₀) = (х₀ – 2)² + (х₀² –1,5)². Функция d²(х₀) дифференцируема на R. Найдем её производную и критические точки: 
(d²(х₀))' = 2(x₀ – 2) + 2(х₀² –1,5) ·2x₀ = 2x₀ – 4 + 4x₀(  – 0,5) = 2х₀ – 4 + 4  – 2x₀ = 4(х₀³ – 1); (d²(х₀))' = 0, при х₀ = 1.

Таблица 2.

При х₀ < 1 (d²(х₀))'<0, значит d²(х₀) убывает, при х > 1 (d²(х₀))' > 0, поэтому d²(х₀) возрастает. При переходе через точку х₀ = 1 производная функции d²(х₀) изменяет знак с  «–» на «+», поэтому х₀ = 1 – точка минимума. Так как функция d²(х₀) непрерывна на всей числовой прямой и имеет там единственный экстремум, именно минимум, то минимум d²(х₀) совпадает с наименьшим значением d²(х₀) на R.
Итак, х₀ = 1,
у₀ = 1 –1,5,
у₀ = – 0,5,    
М(1, – 0,5).

Ответ: М(1, – 0,5) – искомая точка.

Задача 4.

Тело движется прямолинейно по закону S(t) = 100t + 18t² – 2t³, где S – путь в метрах, t – время в секундах. Найдите наибольшую скорость движения.

Решение: на основании механического смысла производной известно, что V(t) = S'(t), V(t) = (100t + 18t² – 2t³)' = 100 + 36t – 6t². Рассмотрим функцию f(t) = – 6t² + 36t + 100, по смыслу задачи t > 0, f(t) дифференцируется при t > 0. Найдем f '(t) и критические точки: f '(t) = – 12t + 36; f '(t) = 0 при t = 3.

Таблица 3.

При 0 < t < 3 f '(t) > 0, f (t) , а при t >3 f '(t) < 0, f(t) . При переходе через точку t = 3 знак f'(t) меняется с «+» на «–», значит t = 3 – точка максимума. Так как f (t) – непрерывна при t > 0 и имеет на промежутке (0, + ) единственный экстремум, а именно максимум, то максимум f (t) совпадает с наибольшим значением f (t) на промежутке (0, +).    f (3)= – 6,9 + 36,3 + 100,  f(3) = –54 + 108 + 100,  f(3) = 208 – 54 = 154

Ответ: 154м/с.

Приложение 1