«Мы… никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы» (Платон)
Название «арифметика» происходит от древнегреческого слова arithmos – число. В понятии числа важны два момента. Во-первых, каждое число, например 5, выражает то общее, что присуще каждому множеству из 5 предметов. Во-вторых, каждое число есть результат пересчёта, начинающегося с единицы и завершающегося данным числом. Первые представления о числах формируются в глубинах мифологического сознания. В мифе число неразрывно связано с его символическим значением.
Число |
Символическое значение |
1 | Единство, целостность мироздания |
2 | Идея простейшего противопоставления: земля – небо; восток – запад |
3 | Трёхчленное деление космоса по вертикали: небо – земля – подземный мир; крона – ствол – корни. |
4 | Устойчивость мироздания (четырёхчленное деление): север, юг, запад, восток; земля, вода, воздух, огонь; четыре сезона года (зима, весна, лето, осень). |
7 | 3+4 Полнота и целостность мироздания (единое целое вертикального и горизонтального деления Вселенной) |
12 | 3*4 полнота и целостность мироздания (деление года на 12 месяцев; небесного круга на 12 знаков зодиака) |
Арифметика мифа принадлежала к особому типу
математической культуры. Она отличалась от
современной математики тем, что её интересовал
не весь ряд чисел, а только особо значимые из
арифметических операций: сложение и умножение.
Некоторые народы использовали словесную систему
нумерации. Например, у древних индусов она была
следующей:
Число | Слова, используемые для выражения чисел |
0 |
Пустой, небо, отверстие |
1 |
Начало, луна, земля, брахман |
2 |
Близнецы, ноздри, глаза, губы |
Подумайте, какими словами можно было бы
обозначить другие числа? Учащиеся предлагают различные варианты, которые записываются на доске. Затем открывается данная таблица, и анализируются предложенные варианты с исторической и математической точек зрения. |
|
3 | Время, миры, огонь |
4 | Океаны, касты, страны света |
5 | Стрелы, легендарные герои «Махабхараты» |
6 | Части тела, цвета |
7 | Горы, мудрецы, отшельники |
8 | Змеи, слоны |
9 | Богини |
10 | Пальцы, воплощения бога «Вишну» |
12 | Боги |
14 | День, половина месяца |
20 | Ногти |
33 | Зубы |
Одно и то же число могло быть выражено различными цепочками слов. Число 1230:
- Небо(0) – время(3) – глаза(2) – земля(1)
- Пустой(0) – миры(3) – близнецы(2)– брахман(1)
- Отверстие(0) – Шива(3) – губы(2) – луна(1).
Почему числа записаны в таком порядке? (индусы
записывали справа налево)
Попробуйте записать на языке индусов числа:
452; 38; 781.
Занимательное умножение. Парад чисел.
Арифметические действия с числами обладают
рядом интересных закономерностей. Давайте
посмотрим некоторые из них.
11*11=121 | 1*9+2=11 | 9*9+7=88 |
111*111=12321 | 12*9+3=111 | 98*9+6=888 |
1111*1111=1234321 | 123*9+4=1111 | 987*9+5=8888 |
11111*11111=123454321 | 1234*9+5=11111 | 9876*9+4=88888 |
… | 12345*9+6=111111 | 98765*9+3=888888 |
111111111*111111111= 12345678987654321 | 123456*9+7=1111111 | 987654*9+2=8888888 |
9876543*9+1=88888888 | ||
98765432*9+0=888888888 |
Свойство числа 481. Казалось бы, что может быть интересного у такого числа? Но тем не менее:
Свойство |
Его объяснение |
Возьмём какое-либо двузначное число,
например 12. Удвоим его и припишем справа 0. К
результату (240) прибавим исходное число.
Получится 252. Умножим это число на 481 и получим:
252*481=121212. Возьмём другое двузначное число, например 23, и проделаем с ним те же операции. 23*2=46, 460+23=483, 483*481=232323. В обоих случаях в результате получилось шестизначное число, в записи которого трижды повторяется исходное число. Как можно объяснить этот удивительный факт? |
Если взять двузначное число a, удвоить его и приписать справа 0, то получится число 20а. Добавив к нему исходное число а, получим 21а. Секрет загадочного умножения скрыт в равенстве 21*481=10101. Имеем 21а*481 =а*10101. То, как легко видеть, есть число, в записи которого участвует три раза двузначное число а. |
Угадывание чисел.
Иногда занятия математикой превращаются в
увлекательные приключения с числами. Вот два
таких примера.
Как найти задуманное чётное число? | |||||||||||||||||||
Задание | Решение и обоснование | ||||||||||||||||||
Предложите задумать чётное число, затем это число надо утроить, полученное произведение разделить на 2 и частное опять утроить. После объявления результата предложенных арифметических действий вы называете задуманное число. Как это сделать? | Для нахождения задуманного числа надо
разделить полученный результат на 9 и затем
умножить частное на 2. Пример: задумано число 12. После утроения его получим 36, половина этого числа равна 18; утроив её, получим 54. Если теперь разделить 54 на 9, то получится 6, т.е. половина задуманного числа. Обоснование. Пусть задумано чётное число 2k. В результате предложенных арифметических действий получится число ((2 k*3):2)*3=9 k. Разделив его после объявления результата на 9 и удвоив результат, получим задуманное число 2 k. |
||||||||||||||||||
Как отгадать два числа? | |||||||||||||||||||
Предложите задумать два числа, из которых одно превышает другое на единицу и каждое из которых не более 9. Затем надо перемножить эти числа, из произведения вычесть меньшее из задуманных, и результат опять умножить на меньшее из задуманных. По объявленной последней цифре полученного числа вы можете назвать задуманные числа. Как их найти? | Для нахождения задуманных чисел надо
запомнить таблицу.
Пример: Задуманы числа 3 и 4. Перемножая
их, получим 12, вычитаем из этого числа наименьшее
из загаданных чисел. Имеем 9, после умножения
чисел 9 и 3 получим число 27. Последняя цифра
результата 7, по таблице находим, что были
загаданы числа 3 и 4. |
Подведение итогов занятия. Предложить учащимся
найти другие интересные закономерности чисел к
следующему занятию.
Во время данного занятия у учащимися созданы
условия для формирования следующих УУД:
Познавательные | Ррегулятивные | Коммуникативные | Личностные |
Использует сравнение для установления
общих и специфических свойств объектов,
высказывает суждения по результатам сравнения; Делает выводы на основе обобщения знаний; Определяет последовательность действий для решения предметной задачи, осуществляет простейшее планирование своей работы; устанавливать аналогии и причинно-следственные связи; |
Обращается к способу действия, оценивая
свои возможности; выделяет учебную задачу на основе изученного; вырабатывает критерии оценки в диалоге с учителем, одноклассниками и самостоятельно; |
Участвует в учебном диалоге; Строит монологическую речь; Соблюдает нормы речевого взаимодействия. Умеет слушать, извлекать пользу из опыта одноклассников. |
формирование целостного мировоззрения,
соответствующего современному уровню развития
науки и общественной практики, учитывающего
социальное, культурное, языковое, духовное
многообразие современного мира; формирование осознанного, уважительного и доброжелательного отношения к другому человеку, его мнению. |
Источники информации:
- С.Н.Олехник, Ю.В. Нестеренко, М.К.Потапов «Старинные занимательные задачи», Москва,«Дрофа», 2006.
- А.Р.Рязановский, Е.А.Зайцев «Дополнительные материалы к уроку математики 5-11 классы». Москва, «Дрофа», 2001.
- М.М. Лиман «Школьникам о математике и математиках», Москва, «Просвещение», 1981.