Урок алгебры по теме «Формула суммы и первых членов арифметической прогрессии»

Цель: познакомить учащихся с формулами суммы n первых членов арифметической прогрессии; сформировать умение применять данные формулы при решении задач.

I. Устно (фронтальная работа с классом)

1) Какая последовательность, заданная формулой n-го члена является арифметической прогрессией: а) x_n =2n+5; б) x_n =3n(n+2); в) x_n =(n+1)/(n+2)?

2) Назовите первый член и разность арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена a_n =115n-4.

Трое учеников работают по индивидуальным карточкам.

1. Как задать арифметическую прогрессию?
2. У арифметической прогрессии первый член 4, второй 6. Найдите разность d.

Карточка 2

1. Как выражается любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, через предыдущий и последующий члены?
2. Найти 10-й член арифметической прогрессии, если a₉ =34?a₁₁ =58.

Карточка 3

1. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.
2. (a_n )- арифметическая прогрессия, a₁ =-0,8, d=4. Найдите a₅ .

II. Изучение нового материала

1) Рассказать учащимся о немецком математике К. Гауссе (1777-1855), который решил следующую задачу за несколько секунд, будучи учеником начальной школы: “Найдите сумму первых ста натуральных чисел”. Предложить учащимся решить данную задачу, предварительно прочитав стихотворение-подсказку:

Задача эта непроста,
Как сделать, чтобы быстро,
От единицы и до ста
Сложить в уме все числа.
Пять первых связок рассмотри,
Найдешь к решению ключи.

Решение.1+2+3+…+97+98+99+100=101?50, т.к. 1+100=2+99=3+97=101.Таких пар 50. Получим 101?50=5050.

Ответ: 5050.

2) Вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии провести согласно п. 27 учебника стр. 147-148.

Пусть сумма первых n первых членов арифметической прогрессии равна S_{n .} Тогда

S_n =а₁+а₂+…+а_n-1+а_n или S_n =а_n+а_n-1+…+а₂+а₁ . Складывая эти равенства почленно, получим: 2 S_n =(а₁+ а_n )+(а₂+ а_n-1 )+…+(а_n-1+ а₂ )+(а_n + а₁)=(а₁+ а_n )n. Отсюда имеем формулу S_n=((а₁+ а_n )n)/2.

3) Учащиеся, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии, самостоятельно выводят формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, содержащую первый член и разность арифметической прогрессии.

III. Закрепление нового материала. (Слабым учащимся выдать алгоритм нахождения суммы n членов арифметической прогрессии)

1. Запишите условие задачи.
2. Запишите нужную формулу.
3. Найдите неизвестные компоненты, входящие в формулу.
4. Найдите значение S_n, подставив найденные компоненты в формулу.
5. Запишите ответ.

Пример 1 Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии 4; 5,5;… .

а₁ =4
а₂ =5,5
Найти: S₃₀

1) S_n=((а₁+ а_n )n)/2

2) а_n = а₁ + d(n-1); d= а₂ - а₁

d=5,5-4=1,5

а₃₀ =4+1,5(30-1)=47,5

Ответ. 772,5

Сильным учащимся предложить решить данную задачу по формуле, содержащей первый член и разность арифметической прогрессии. Вычисления будут выглядеть так: S₃₀ =((2?4+1,5?29)?30)/2=772,5.

IV. Итог урока

1) Как найти сумму n первых членов арифметической прогрессии, если известны:

а) первый и n-й члены арифметической прогрессии,

б) первый член и разность арифметической прогрессии.

2) (a_n ) - арифметическая прогрессия

а) a₁ =3, a₆₀ =57. Найдите S₆₀ .

б) a₁ =-17, d=6. Найдите S₉ .

V. Задание на дом: п. 17, № 603(б),605(б), 608.

Литература

1) Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/ А45 [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред.С.А. Теляковского. -М.: Просвещение, 2010.

2) Алгебра в 6-8 классах: Пособие для учителей/Ф.М. Барчунова, А.А. Бесчинская, Л.О. Денищева и др.; Сост. Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. -М. :Просвещение, 1988.