Мы много раз пользовались уравнениями и знаем, что они очень полезны для решения различных задач. Чтобы успешно пользоваться уравнениями, надо хорошо знать их свойства и изучить различные приемы их решения.
Решение уравнений - один из основных вопросов курса алгебры. К этому вопросу мы будем возвращаться несколько раз. Сейчас рассмотрим два основных свойства уравнений.
Свойство 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного, то полученное в результате этого новое уравнение имеет те же и только те же решения, что и исходное уравнение. Или, другими словами: уравнение не теряет и не приобретает решения, когда к обеим частям его прибавляется одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного.
Разъясним сначала, почему уравнение не может потерять решение, когда к обеим частям его прибавляется одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного.
Рассмотрим уравнение
Это уравнение имеет решение х=5. При х=5 уравнение превращается в тождество 6=6.
Прибавим теперь к каждой части уравнения по 20, получим новое уравнение:
После замены в уравнении буквы х числом 5 каждое из выражений, заключенных в скобки, дает в результате опять 6 и, таким образом, мы в каждой части получим 26. Разница между исходным и решаемым заключается лишь в том, что при х=5 исходное уравнение превращается в тождество 6 = 6, а решаемое уравнение превращается в тождество 26 = 26.
Если бы к каждой части исходного уравнения прибавили не по 20, а по - 200, новое уравнение опять при х=5 превратилось бы в тождество. Различие межу этим уравнением и исходным уравнением заключалось бы только в том, что в каждой части нового уравнения получилось бы по 194, а не по 6, как в исходном уравнении.
Если бы мы к каждой части исходного уравнения прибавили по многочлену х2+х+2, новое уравнение опять при х=5 превратилось бы в тождество 38 = 38 (многочлен х2+х+2 при х=5 принимает значение 32).
Выходит, что решение х=5 не теряется, когда к каждой части уравнения прибавляется одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного.
Так как вычитание любого числа и любого многочлена можно заменить сложением, уравнение не может потерять решение и тогда, когда от каждой части его отнимается одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного.
Разъясним теперь, почему уравнение не может приобрести решение, когда к обеим частям его прибавляется одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного.
Рассмотрим опять уравнения исходное и любое из приведенных и выясним, почему при переходе от исходного уравнения к уравнению приведенному мы не могли приобрести решения.
Для того чтобы от приведенного уравнения перейти к исходному уравнению, достаточно от каждой части его отнять по 20 (или к каждой части прибавить по -20). Значит, при переходе от приведенного уравнения к исходному мы не можем потерять решения.
Так как буквы в алгебре обозначают числа, все сказанное об уравнениях с числовыми коэффициентами относится также и к уравнениям с буквенными коэффициентами.
Следствие из 1-го свойства уравнений. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив при этом знак его на противоположный.
Это утверждение справедливо для любых уравнений.
Свойство 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на какое-нибудь число, отличное от нуля, то полученное в результате этого новое уравнение имеет те же и только те же решения, что и исходное уравнение.
Иными словами: уравнение не приобретает и не теряет решений от того, что обе части его умножены или разделены на одно и то же число, отличное от нуля.
Прежде чем разъяснить свойство 2, заметим, что его достаточно разъяснить для умножения, так как деление можно всегда заменить умножением на обратное число.
Мы и здесь, как и при разъяснении свойства 1, сначала расскажем, почему при умножении (или делении) обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, ни одно решение не может быть потеряно.
Возьмем какое-нибудь уравнение. Все, что будет показано на этом уравнении, можно показать и на любом другом уравнении. Уравнение
имеет решение х=6. Действительно, при х=6 уравнение превращается в тождество 10=10.
Умножим каждую часть уравнения на 20, получим уравнение:
При х=6 и это уравнение тоже превращается в тождество. 20•10=20•10
Если бы мы умножили обе части уравнения на 
, мы получили бы
уравнение, которое при х=6 превращается в
тождество
Выходит, что решение х=6 не теряется при умножении или делении каждой части уравнения на одно и то же число.
От уравнения данного уравнения можно перейти
обратно к исходному посредством умножения
каждой части его на 
.
Ясно поэтому, что при переходе от полученного уравнения к исходному уравнению не может быть потери решения. Отсюда вытекает, что при переходе от исходного уравнения к полученному уравнению не могло быть и приобретения решения. Здесь опять, как и при изучении свойства 1, важно понять, что решения, приобретенные при переходе от исходного уравнения к уравнению полученному в результате преобразований, должны были бы потеряться при обратном переходе, а потеря решения здесь невозможна.
Так как буквы в алгебре обозначают числа, все сказанное об уравнениях с числовыми коэффициентами относится также и к уравнениям с буквенными коэффициентами. При этом необходимо только следить за тем, чтобы при умножении обеих частей уравнений на буквенное выражение не вкралось умножение на нуль!