Арифметические и геометрические прогрессии

Образовательные цели урока:

• обобщить знания по теме “Прогрессии”, повторить все формулы по теме;
• показать актуальность темы, ее применение в жизнедеятельности человека;
• развивать творческие способности учащихся;
• продолжить подготовку к итоговой аттестации

Воспитательные цели урока:

• Формирование интереса к изучению математики;
• Воспитание культуры общения.

Медиа образовательные:

• Развитие таких базовых качеств личности, как критическое мышление, рефлексивность, коммуникативность, самостоятельность, толерантность, ответственность за собственный выбор и результаты своей деятельности.
• Развитие аналитического, критического мышления:

- научить детей отвергать ненужную или неверную информацию;

- выделять ошибки в рассуждениях;

- избегать категоричности в рассуждениях;

• Формирование нового стиля мышления, для которого характерны открытость, гибкость, рефлексивность.
• Стимулирование самостоятельной поисковой творческой деятельности.

Оборудование:

• презентация, карточки, заготовленные таблицы №1 №2 для учащихся,
• индивидуальные задания, задания из ГИА по математике 2014 года.

План урока:

1. Мотивационное начало, вводная часть (исторические сведения о прогрессиях устно, работа с таблицей);
2. Сообщение цели урока;
3. Сценка “Мужик и купец”
4. Исторические задачи
5. “Истинно” или “ложно” (знание теоретического материала)
6. Решение задач: по теме урока “Марафон” (кто больше),
7. Обобщение информации – заполнить таблицу
8. Задание на дом;
9. Итог урока (анекдот математический)

Ход урока

I.  Мотивационное начало

1.Учащимся предлагается обнаружить закономерности в таблице:

2. Как можно сформулировать тему данного урока?

Учащиеся формулируют тему урока, записывают в тетрадь.

2. Сценка “Мужик и купец” (учащиеся 6б класса):

Действующие лица: ведущий, купец, жена, мужик.

На сцене стол, на столе самовар, лавка, у окна сидят купчиха и её дочь, входит купец

Купец. Послушай, жена, на базаре я встретил глупого мужика и заключил с ним выгодную сделку.

Жена. Какую?

Купец. Он каждый день будет приносить мне по 100000 рублей, а я ему в 1-ый день отдам копейку. Ты слышишь, копейку за 100000 рублей! Во 2-ой день – 4 копейки и так целый месяц. А он мне целый месяц будет приносить каждый день по 100000 рублей.

Жена. Откуда у этого глупца столько денег?

Купец. Это не наше дело. Об одном жалею, что заключил договор только на один месяц. Боюсь, что этот чудак поймёт, что его обманывают, и не принесёт свои деньги. (Раздаётся стук в дверь. Жена выглядывает в окно)

Жена. Там кто-то пришёл.

Купец. (Выглядывает в окно) Это он! (Входит мужик)

Мужик. Получай, купец, свои деньги и отдай мою копейку!

Взяв свою копейку уходит.

Купец. Как я боялся, что он не придёт. А вдруг завтра он не придёт? Или придёт и заберёт свои деньги?

Жена. Успокойся! Если он сегодня не понял, что его обманывают, не думаю, что поймёт завтра. Говорят же: “Если дурак, то надолго”

Купец. Так-то оно так, да всё равно боязно.

Ведущий. Каждый день мужик приносил по 100000 рублей и забирал свои копейки. Вначале купец радовался и не задумывался над тем, сколько он отдаёт мужику. На 24-ый день он отдал 83000, а на 25-ый 166000, а на 27-й день 671000 рублей.

Купец. О горе мне, горе! Мужик оказался не так глуп. Ведь он отдал мне всего 3 миллиона, а получил от меня 10 миллионов рублей! Какой я глупец! Разве можно заключать сделки на базаре!

Как неожиданны бывают результаты, когда не знаешь математику.

3.Стадия осмысления (реализации).

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

1 ученик: В древнеегипетском папирусе Ахмеса (ок. 2000 до н.э.) приводится задача: “Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялась 1/8 меры”.

В этой задаче речь идет об арифметической прогрессии.

Условие задачи, пользуясь современными обозначениями, можно записать так: S₁₀ =10, d= 1/8. Найти: а₁ , а₂ , …, а₁₀ .

2 ученик: В одном древнегреческом папирусе приводится задача: “Имеется 7 домов, в каждом по 7 кошек. Каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышка съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. Нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна”.

Решение этой задачи приводит к сумме пяти членов геометрической прогрессии: а₁ =7, q=7. Найти: S₅.

3 ученик: Древнейшая задача на прогрессии – не вопрос о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, найденный Риндом в конце пошлого столетия, составлен около 2000 лет до нашей эры и списан с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. Среди задач там имеется и такая:

Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, два первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Имеем словесное описание арифметической прогрессии: S₅=100 и 7(а₁ + а₂) = а₃ + а₄ + а₅. Найти: а₁, а₂, а₃, а_4, а₅.

1. Назовите основное сходство и различие в данных задачах.

4 “Истинно или ложно?” (знание теоретического материала)

Применяется прием “верные или неверные утверждения”.

1 вариант:

1. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная с первого, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

2. В формуле , q называется разностью геометрической прогрессии.

3.

4. Формула n-го члена арифметической прогрессии

5. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии равна

(поменялись карточками, проверяем правильность ответов, исправляем ошибки и оцениваем результаты)

2 вариант:

1. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная с первого, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

2. В формуле , d называется знаменателем арифметической прогрессии.

3.

4.Формула n-го члена геометрической прогрессии

5. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии равна

Физминутка: По кабинету развешены карточки с числами. Составить из них последовательности. Итог подведём в конце урока.

6. а) “Я сам” (Марафон) Выполнить задание.

Каждый ученик решает самостоятельно, и каждый ученик решает одно задание у доски (заранее разрезать таблицу и каждому ученику раздать по одному заданию):

Итог, проверка.

б) (подготовка к экзаменам) решение заданий по прогрессиям из КИМов 2014 г.

в) С классом задачи: (практическая направленность)

№1 При хранении бревен строевого леса их складывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен? (ответ: 78 брёвен)

№2 Банк даёт своим вкладчикам 25% годовых. Чему станет равным вклад в 100000 рублей через 2 года? (ответ: 156250 рублей)

1) 100000 (1 + 0,25 ) = 125000 р – через год

2) 125000 (1 + 0,25 ) = 156250р – через 2 года

7. Рефлексия

Каждому из учеников дается следующее задание: Заполнить таблицу№2

Данная стадия дает целостное осмысление, обобщение полученной информации.

8. Домашнее задание:

а). Составить кроссворд по теме: “Арифметическая и геометрическая прогрессии”;

б). Домашняя контрольная работа №4;

в). Повторить параграфы 15 - 17, подготовиться к контрольной работе.

9. Умственная физминутка: (математический анекдот) Однажды Шерлок Холмс и его неизменный спутник Ватсон отправились в путешествие на воздушном шаре. Сильный ветер погнал их шар в неизвестном направлении. Затем ветер несколько унялся, и они приземлились в пустынной и загадочной местности.

Вскоре, однако, они заметили приближающегося к ним человека.

- Не могли бы вы хотя бы приблизительно. Сказать нам. Где мы находимся? – спросил его Холмс.

Человек задумался на некоторое время и затем ответил:

- Почему приблизительно? Я могу ответить абсолютно точно. Вы находитесь в гондоле воздушного шара.

Очередной порыв ветра понёс шар дальше в неизвестном направлении.

- Чёрт бы побрал этих математиков! – раздражённо проговорил Шерлок Холмс.

- А почему Вы считаете, что этот человек был математиком? – как всегда удивился Ватсон.

- Ну, во-первых, прежде чем ответить, он подумал. А во-вторых, его ответ был абсолютно точен и абсолютно бесполезен для нас.

10. Итог, оценки за урок