Различные методы нахождения расстояний и углов в пространстве

Разделы: Математика

Цели урока:

Образовательные:

  • изучить некоторые методы нахождения расстояний и углов в пространстве, такие как метод параллельных плоскостей, метод объёмов, с использованием теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника;
  • повторить основные способы решения задач нахождения расстояний и углов в пространстве: по определению и метод координат;
  • проверить знание формул нахождения расстояний и углов в пространстве;
  • проверить умения решать простейшие задачи на нахождение углов между прямыми и плоскостями в пространстве.

Ход урока

1. Организационный момент. 

2. Вступительное слово.

Цели нашего урока – повторить координатный метод решения задач нахождения расстояний и углов в пространстве, познакомиться с избранными методами решения задач на нахождение расстояний и углов в пространстве, научиться применять их при решении задач.

Начнем урок с устной работы, цель которой – повторить определения и формулы, которые нам понадобятся для нахождения расстояний и углов в пространстве.

3. Работа устно. 

Найти соответствие между левой и правой частями формул. 

 

4. Тренажер. 

Заполнить пропуски в решении.

1. Точка К – середина ребра АA1 куба АВСDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми A1В и СК.

2. В правильной треугольной призме АВСA1B1C1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 4. Точка D – середина ребра CC1. Найдите расстояние от вершины С до плоскости АDB1.

3. Основание прямой четырехугольной призмы прямоугольник ABCD, в котором AB = 12, AD = Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через середину ребра A1D1 перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 5.

 

5. Избранные методы нахождения расстояний и углов в пространстве. 

Каждая из трех групп за неделю до урока получила кейсы с методами решения задач. На уроке один представитель от группы показывает презентацию по решению задачи указанным способом.

1 группа (метод параллельных плоскостей).

Вывод. Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми методом параллельных плоскостей, надо:

  1. Определить параллельные плоскости, в которых лежат прямые.
  2. Переформулировать данную задачу как задачу на нахождение расстояния от точки до плоскости.
  3. Построить расстояние от точки до плоскости.
  4. Найти это расстояние.

2 группа (метод объёмов).

 

Вывод. Чтобы найти расстояние от точки до плоскости методом объёма, надо:

  1. Построить искомое расстояние.
  2. Определить пирамиду, содержащую это расстояние.
  3. Найти объем этой пирамиды, используя равенство объёмов одной фигуры, выраженной двумя независимыми формулами.
  4. Воспользоваться формулой

3 группа (с использованием теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).

Вывод. Чтобы найти угол между плоскостями методом ортогональной проекции, надо:

  1. Определить площадь многоугольника, лежащего в одной из плоскостей.
  2. Определить площадь его ортогональной проекции на другую плоскость.
  3. Воспользоваться формулой

6. Составление памятки по методам решения задач на нахождение углов и расстояний в пространстве 

Памятка по решению задач на нахождение углов и расстояний в пространстве 

Способы решения задач на нахождение углов и расстояний в пространстве:

  1. Геометрический;
  2. Координатный;
  3. Метод параллельных плоскостей:
    а) Определить параллельные плоскости, в которых лежат прямые.
    б) Переформулировать данную задачу как задачу на нахождение расстояния от точки до плоскости.
    в) Построить расстояние от точки до плоскости.
    г) Найти это расстояние.
  4. Метод объемов:
    а) Построить искомое расстояние.
    б) Определить пирамиду, содержащую это расстояние.
    в) Найти объем этой пирамиды, используя равенство объёмов одной фигуры, выраженной двумя независимыми формулами.
    г) Воспользоваться формулой
  5. С использованием теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника:
    а) Определить треугольник, который является ортогональной проекцией многоугольника на плоскость.
    б) Найти площадь этого многоугольника.
    в) Найти ортогональной проекции.
    г) Воспользоваться формулой

7. Работа в группах. 

  1. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от точки А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если AD = =2√5, AB = AC =10, BC = 4√5 (решить методом объёмов).
  2. В правильной шестиугольной призме A...F1, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найти угол между плоскостями BA1D1 и AA1E1 (решить методом ортогонального проектирования).

8. Подведение итогов. 

  1. Какие методы нахождения расстояний и углов в пространстве вы узнали сегодня на уроке?
  2. Сможете ли вы самостоятельно находить расстояния и углы в пространстве?
  3. Какой из методов нахождения расстояний и углов в пространстве вы считаете наиболее приемлемым для вас?
  4. Чувствовали ли себя комфортно на уроке?