Функция. Область определения и область значений

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний. Урок проводится с использованием межпредметных связей.

ТДЦ.

Познавательный аспект

1. Создать условия для систематизации знаний у учащихся о функции, области определения и области значения.
2. Создать условия для закрепления понятий: функции, график функции, свойства функции.
3. Создать условия для опережающего обучения по теме “Свойства функции (периодичность)”.

Развивающий аспект

1. Способствовать развитию логического, наглядно-образного мышления; навыков самоконтроля; познавательного интереса у учащихся

Воспитательный аспект

1. Способствовать воспитанию графической культуры; культуры математической речи.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый.

Формы организации познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Характеристика этапов урока

Ход урока

1. Организационный момент

2. Целеполагание и мотивация

Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:

- Что есть больше всего на свете? – Пространство.

- Что быстрее всего? – Ум.

- Что мудрее всего? – Время.

- Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Хочется, чтобы каждый из нас на сегодняшнем уроке достиг желаемого.

Китайская пословица гласит:

Я слушаю, - я забываю;
Я вижу, - я запоминаю;
Я делаю, - я усваиваю.

В процессе сегодняшнего урока вы научитесь:

· давать определение функции,

· правильно употреблять функциональную терминологию;

· находить область определения функции

· находить область значений функции

3. Актуализация

Введение в историю вопроса

- А что же такое функция? Откуда произошло это понятие? (Доклад ученика)

Слово “функция” (от латинского function – исполнение, осуществление) в математике впервые употреблено немецким математиком В.Г.Лейбницем. Но сами функции и способы их задания фактически изучались людьми очень давно. Знаменитый древнегреческий историк Геродот в 425 году до нашей эры писал, что египетские цари, разделив землю между египтянами, брали ежегодный налог, пропорциональный площади занимаемого участка. Конечно, ни египетские цари, ни землевладельцы, ни сам Геродот не произносили слова “функция”, но ведь речь идёт о том, что каждому значению площади соответствовало некоторое значение налога. Хотя в древности функций не знали, но явления, которые мы сегодня описываем с их помощью, давно известны людям.

Рассказ ученика о Рене Декарте (демонстрируется фотография учёного).

Впервые функция вошла в математику под именем “переменная величина” в знаменитом труде французского математика и философа Р. Декарта “Геометрия” (1637 г.).

Рене Декарт родился 31 марта 1596 года в маленьком городке Лаэ (ныне Декарт) во Франции, в не очень знатной, но зажиточной дворянской семье. Родился хилым, слабым ребенком. Через несколько дней умерла от чахотки мать. Казалось, судьба мальчика была предрешена. К счастью, прикрепленная кормилица выходила Рене, сохранила ему жизнь и поправила его здоровье. Отец Декарта был судьёй в городе, дома появлялся редко; воспитанием мальчика занималась бабушка. Восьми лет Рене отдали на полное попечение в одну из лучших иезуитских коллегий. Учитывая слабое здоровье Декарта, ему делали некоторые послабления в строгом режиме этого учебного заведения, например, разрешали вставать позже других. Основными предметами в коллегии считались латынь, богословие и философия. Но с детства Декарт любил решать задачи, и все свободное время посвящал изучению математики. К счастью Декарта, в школе обучали этому предмету, но уровень обучения был недостаточным. Занятия математикой в коллегии сам Декарт считал "безделками" и поэтому более глубоким изучением ее занялся самостоятельно.

Декарт прославил себя во многих областях науки, в частности математике. Вот только некоторые его достижения, которые имеют непосредственное отношение к теме “Функция”.

Декарт впервые ввел понятия переменной величины и функции, предложил систему координат и способ записи математических формул, который используется до сих пор.

С развитием науки понятие функции уточнялось и обобщалось. Но основные понятия: независимая величина – аргумент, зависимая величина – функция, предложенные Декартом, – применяются в настоящее время.

Декарт является первооткрывателем аналитической геометрии, в основе которой лежит изобретенный им метод координат. Этот метод, как известно, применялся и ранее. Тем не менее у Декарта он приобрел гораздо большее значение. Его система координат была несовершенной: в ней не рассматривались отрицательные абсциссы. Почти незатронутыми остались вопросы аналитической геометрии трехмерного пространства. Тем не менее " Геометрия" Декарта оказала огромное влияние на развитие математики, и почти 150 лет алгебра и аналитическая геометрия развивались преимущественно в направлениях, указанных Декартом.

Предложенная Декартом система координат ныне называется декартовой системой координат, а координаты точек называются декартовыми координатами. Также тесно вошли в обиход предложенные Декартом названия координат: абсцисса и ордината.

4. Обобщение и систематизация знаний

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Графический способ – один из самых удобных и наглядных способов представления и анализа информации. В каких же отраслях знаний могут быть использованы графики? Начерченный график – это краткое и наглядное описание какого-либо процесса, или цепочки событий, или ряда наблюдений. Недаром считают, что график – это “говорящая линия”, которая может много рассказать.

Сегодня на уроке мы еще раз убедимся, что в повседневной жизни, сами не задумываясь об этом, мы встречаемся с функцией. Понятия “функция” и график функции” встречаются далеко не только на уроках математики. Вот, к примеру, два графика: первый из них показывает - земная кора в состоянии спокойствия, второй – в стадии землетрясения (демонстрируются сейсмологические графики земной коры). По этой сейсмограмме ученый-сейсмолог может определить, когда и где произошло землетрясение, каковы сила и характер подземных толчков. Изучая состояние земной коры, ученые-сейсмологи прогнозируют приближающие землетрясения и предупреждают соответствующие службы.

Выступления учащихся

Медицина

Выступление ученика 9 класса: Каждый из нас хотя бы раз в жизни проходил исследование работы и состояние своего сердца с помощью электрокардиограммы. Глядя на этот график, врач-кардиолог, исследующий больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности, поставить правильно диагноз, назначить лечение (демонстрируется электрокардиограмма сердца).

География

Выступление ученицы 7 класса: На уроках географии мы систематически наблюдаем за состоянием погоды, заносим ежедневные показатели в специальную таблицу и по данным таблицы строим график погоды каждый месяц (демонстрируется график). Глядя на этот график, можно анализировать состояние погоды, делать сравнительный анализ, отвечать на самые разные вопросы.

Экономика

Выступление ученика 9 класса: Я запросил данные у администрации нашего поселка и администрации района по состоянию численности населения поселка и района за последние 5 лет. По полученным данным построил графики. Глядя на них, мы видим, что количество жителей как в поселке, так и в районе пусть тихонечко, но все-таки увеличивается. Это говорит о стабильности в нашем регионе и придает оптимизма молодым (демонстрируются графики).

Мы с вами на уроках изучаем только числовые функции, где область определения и область значений являются числовыми множествами. Чтобы успешно изучить этот материал одного желания недостаточно, надо владеть опорными знаниями, умениями и навыками, а именно (учитель читает с доски, заранее подготовленную запись):

а) умение “читать графики”;

б) “узнавать” графики функций вида:

у = кх + b, у = х³, у = ах², у = √х, у = а(х – m)² + n, у = |х|;

в) различать целые, дробные выражения, выражения с корнями и уметь находить область определения выражений;

г) решать уравнения (линейные, квадратные);

д) решать неравенства (линейные, квадратные);

е) решать системы уравнений и неравенств.

Работа с графиками: у каждого учащегося таблица с заданием (такая же таблица проецируется на доске). (Приложение 1). Приложения

Работа с опорным конспектом. (Приложение 2)

Самостоятельная работа. (Приложение 3)

Фронтальная работа с классом. (Приложение 4)

5. Рефлексия

Учитель предлагает учащимся заполнить карточки самоанализа изученного материала и сдать учителю. (Приложение 5)

А теперь обратимся к литературе. Скажете: “И причем здесь литература?”.

Вам было дано домашнее задание: найти, придумать, выбрать пословицы и поговорки, в которых прослеживаются свойства функции. Вы должны провести параллель: что эта пословица обозначает в жизни и как можно применить ее именно к нашей теме. (Ученики читают пословицы и поговорки и объясняют, как можно изобразить данную ситуацию графически и как связать ее с жизненными ситуациями).

Пословицы и поговорки по теме “Функция и ее свойства”, которые можно использовать на уроке: “Как аукнется, так и откликнется” (четность функций); “Тише едешь, дальше будешь” (одна ветка гиперболы); “Чем дальше в лес, тем больше дров” (возрастание); “Выше меры конь не скачет” (максимум, минимум); “Кашу маслом не испортишь” (возрастание); “Дальше от кумы – меньше греха” (гипербола); “Горяч на почине, да скоро остыл” (гипербола).

Наверное, вы не раз встречали от окружающих вас людей слова: “Наша жизнь – что тельняшка: то черная полоса, то белая”. Она говорит о том, что в жизни не всегда складывается все гладко: удачи меняются на неудачи, но проходит время, и черная полоса меняется на белую. Среди свойств, изученных вами, нет такого, которое объясняло бы эту жизненную ситуацию. В будущем вы познакомитесь с такими функциями, график которых периодически повторяется (демонстрируются графики тригонометрических функций, называется новое свойство - периодичность). Но этим мы займемся в 10 классе.

6. Домашнее задание

В качестве домашнего задания я предлагаю вам построить график вашего настроения на сегодняшнем уроке.

Ну что ж, ребята! Сегодня мы провели с вами экскурсию в царство “Функции”, прикоснулись к ее истокам, заглянули в историю, пробежались по ее свойствам, убедились в связи функции с жизнью. И мне хочется сказать:

Окончен урок, и выполнен план.
Спасибо, ребята, огромное вам
За то, что упорно и дружно трудились,
Надеюсь, что знания вам пригодились.