Решение олимпиадных задач или задач исследовательского характера служит хорошей подготовкой к будущей научной деятельности, заостряет интеллект учащихся. Но сразу начинать с трудных задач для них – это сложно. Значит, надо брать те задачи, которые им понравились и доступны. Надо научить школьников переносить проблемы в новые ситуации, выявлять круг идей и расширять их, владея определенной техникой построения чертежей и знаниями о свойствах фигур. Учителю надо выработать свой подход в обучении (технологию или метод) к задачам на построение и формировать универсальные учебные действия.
В данной работе рассмотрим задачи на построение с помощью циркуля и линейки (как известные, так и нестандартные).
Идея о построении с помощью одного циркуля была выдвинута еще итальянским ученым Джованни Баттиста Бендетти (1530-1590). В 1672 году появилась книга «Euclidus Danicus» датского геометра Георга Мора (1640-1697). В ней он показал, что все задачи, которые сводятся к квадратным уравнениям, можно решить геометрически с помощью одного циркуля. Более чем через 100 лет, в 1797 году, эта задача была вновь поставлена и решена итальянцем Лоренцо Маскерони (1750-1800).
Разумеется, одной линейкой можно проделать не всякое построение, выполнимое циркулем и линейкой. Если же на листе предварительно нарисована окружность и отмечен ее центр, то согласно поразительной теореме Штейнера, все построения, выполнимые циркулем и линейкой, могут быть проделаны одной линейкой. Однако, всякое построение, выполнимое циркулем и линейкой, можно проделать и одним циркулем. Известно, что решение задач на построение состоит из четырёх этапов: анализ, построение, доказательство и исследование. Как решать эти задачи, – советов много. А наш совет – это ответ на вопрос, что надо делать уже после решения задачи? Надо ещё раз подумать над этой задачей, т. е. провести исследование. Попробовать понять: сколько же решений имеет задача? А также попробовать самостоятельно составить задачу, понять:
- Какие идеи привели к решению, чем эта задача не похожа на другие?
- Будет ли задача иметь решение, если какое-то условие убрать или ослабить?
- Можно ли данные и ответ поменять местами, т. е. верно ли обратное утверждение?
- Можно ли этот метод обобщить (применить к другим задачам) или вывести какие-то следствия?
Как учащимся осваивать идеи и методы решения задач на построение?
1) Можно сначала прочитать описание идеи, потом
рассмотреть уже разобранные задачи, и затем
попытаться решать самому.
2) Можно сразу начать с задач, чтобы самим уловить
идею, а уже потом прочитать комментарии и
разобрать решение задачи. Ведь идея – это
путь к решению, а метод – это алгоритм решения.
Решение каждой геометрической задачи начинается с чертежа, и качество чертежа влияет на успешность решения. Не рекомендуется рисовать заведомо «провокационные» чертежи, т. е. фигура на чертеже не должна «добавлять» новые по сравнению с данными свойства. Чаще всего оказывается более удобным строить чертёж на основе свойств, указанных в условии объектов.
Во всех решаемых задачах на построение мы ограничимся описанием самого построения (или решения). Только интерес и любопытство, удивление и поиск могут заставить ученика задуматься над тем или иным вопросом. Как же порождать творческую активность и пробуждать интерес к математике? Хотя бы иногда решать нестандартные задачи (в том числе и на построение).
Объект исследования: традиционные и нестандартные задачи
Предмет исследования: нестандартные задачи на построение.
Цель: рассмотреть идеи и методы решения некоторых известных и нестандартных задач на построение для развития и формирования УУД у учащихся.
Задачи: научить переносить проблемы в
новые ситуации, выявлять круг идей и расширять
их, владея уже определенной техникой построения
чертежей и знаниями о свойствах фигур;
уметь организовывать работу над задачей на
построение олимпиадного или исследовательского
характера и осуществлять преемственность при
этом.
Методики исследования:
- теоретические, т.е. изучение источников информации: книг, пособий, газетных и журнальных статей в печатном и электронном видах.
- практические, т.е. уроки, консультации, семинары, коллоквиумы, факультативы в школе, олимпиады и тестирование.
Выводы: (см. Приложение 1 – проектная работа)
1. Доказано, что множество точек, которые можно
построить одной линейкой из четырех
рациональных точек, находящихся в общем
положении, состоит из всех точек плоскости.
Разумеется, нельзя провести циркулем прямую,
поэтому все рассматриваемые задачи на
построение должны состоять в построении
некоторой точки (на плоскости).
Однако, всякое построение, выполнимое циркулем и
линейкой, можно проделать одним циркулем.
2. Задачи на построение развивают творческое
воображение и УУД у учащихся, которые потом
применяются при сдаче экзаменов или в различных
проблемных ситуациях.
В заключение хочется сказать, что именно поиск решения задач на построение, их исследование ведут к новым идеям и методам. Мне и моим учащимся, исследователям-энциклопедистам гимназии №5 г. Владикавказа Республики Северная Осетия-Алания тоже нравится решать задачи на построение. Порой мы долго над ними думаем, задачи становятся громоздкими, обрастают какими-то лишними выкладками. Но блестящая мысль, осенившая вдруг кого-то, решает все проблемы. Решение маленьких математических проблем опирается помимо знаний фактического материала также на сообразительность, природный ум и интуицию. Мысли награждаются мыслями: и задача бывает решена.
Список литературы:
1) Конель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как
решают нестандартные задачи.– М:МЦНМО, 2008.– 6 с.
2) Фукс Д. Построение одним циркулем // Квант
(приложение к №1). – 1998. – 85 с.
3) Михеев Ю. Одной линейкой // Квант
(приложение к №1). – 1998. – 79 с.
4) В. Н. Дятлов, Г. В. Дятлов, Ю.А. Дмитриева.
Математические этюды ИИМ, 2008г.